1、第二章 推理与证明21 合情推理与演绎推理21.1 合情推理双 基 达 标 限 时 20分 钟 1下面使用类比推理恰当的是( )A “若 a3b3 ，则 a b”类推出“若 a0b0 ，则 ab”B “(ab)cac bc”类推出“(ab)c acbc”C “(ab)cac bc”类推出“ (c0)”a bc ac bcD “(ab)na nbn”类推出 “(ab) na nb n”解析 由实数运算的知识易得 C 项正确答案 C2根据给出的数塔猜测 123 45697 等于( )192111293111123941 1111 2349511 11112 34596111 111A1 111 1
2、10 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1 111 111.答案 B3下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子应是什么颜色( )A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657 余 1.第 36 颗珠子的颜色为白色答案 A4设 f(x) ，x 11，x nf(x n1 )(n2)，则 x2，x 3，x 4 分别为_猜2xx 2想 xn_.解析 x 2f(x 1) ，x 3f(x 2) 21 2 23 12 24x4f(x 3) ，x n .21
3、212 2 25 2n 1答案 ， 2324 25 2n 15观察下列各式918,16412,25916,361620，.这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为_解析 由已知四个式子可分析规律：(n2) 2n 24n4.答案 (n2) 2n 24n46已知正项数列a n满足 Sn ，求出 a1，a 2，a 3，a 4，并推测 an.12(an 1an)解 a 1S 1 ，12(a1 1a1)又因为 a10，所以 a11.当 n2 时，S n ，S n1 ，12(an 1an) 12(an 1 1an 1)两式相减得：an ，12(an 1an) 12(a
4、n 1 1an 1)即 an ，1an (an 1 1an 1)所以 a2 2，又因为 a20，所以 a2 1.1a2 2a3 2 ，又因为 a30，所以 a3 .1a3 2 3 2a4 2 ，又因为 a40，所以 a42 .1a4 3 3将上面 4 个式子写成统一的形式：a1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，1 0 2 1 3 2 4 3由此可以归纳出 an .(nN )n n 1综 合 提 高 限 时 25分 钟 7下列推理正确的是( )A把 a(bc)与 loga(xy)类比，则有：log a(xy)log axlog ayB把 a(bc )与 sin(xy)类比，则有：sin(xy )
5、 sin xsin yC把 (ab)n与( ab) n类比，则有：( xy) nx ny nD把(ab)c 与(xy) z 类比，则有：(xy )zx(yz )解析 A 错误，因为 logaxlog aylog axy(x0，y0)；B 错误，因为 sin(xy )sin xcos ycos xsin y；对于 C，则有(xy)nC xnC xn1 yC xnr yrC yn；D 正确，为加乘法的结合0n 1n rn n律，故选 D.答案 D8设 0 ，已知 a12cos ，a n1 ，猜想 an2 2 an( )A2cos B2cos 2n 2n 1C2cos D2 sin2n 1 2n解析
6、 法一 a 12cos ，a2 2 2cos ，2 2cos 1 cos 2 2a3 2 2cos ，2 a21 cos 22 4猜想 an2cos .2n 1法二 验 n1 时，排除 A、C、D，故选 B.答案 B9把 1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)试求第七个三角形数是_解析 观察知第 n 个三角形数为 123n ，当 n7 时，nn 12 28.77 12答案 2810平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质性质_；性质_.答案 六条棱长相等 四个面都全等11在公比为 4 的等比数列b n
7、中，若 Tn是数列b n的前 n 项积，则有 ，T20T10， 也成等比数列，且公比为 4100；类比上述结论，相应地在公差为 3T30T20 T40T30的等差数列a n中，若 Sn是a n的前 n 项和(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明) 解 (1)数列 S20S 10，S 30S 20，S 40S 30 也是等数数列，且公差为 300.该结论是正确的(证明略)(2)对于kN *，都有数列 S2kS k， S3kS 2k，S 4kS 3k是等差数列，且公差为 k2d.12(创新拓展) 如图，在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 、，则 cos2cos 21，则在立体几何中，给出类比猜想解 在长方形 ABCD 中，cos 2cos 2 2 2 1.(ac) (bc) a2 b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为、 、，则 cos2cos 2cos 21.证明如下：cos 2cos 2 cos2 2 2 2 1.(ml) (nl) (gl) m2 n2 g2l2 l2l2
