1、空间向量与立体几何 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题:1在下列命题中：若 a、 b共线，则 a、 b所在的直线平行；若 a、 b所在的直线是异面直线，则 、 一定不共面；若 、 、 c三向量两两共面，则 、 、 c三向量一定也共面；已知三向量 a、 b、 c，则空间任意一个向量 p总可以唯一表示为czbyaxp其中正确命题的个数为 A0 B1 C2 D32在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，向量 1A、 C、 1是 A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3已知 a（2，1，3） ， b（1，4，2） ， c（7，5，） ，若 a、 b、 c三向量共面，则实数 等于
2、A67B67C67D674直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 cCbBaA1,， 则 1ABA a+b c B a b+c C + + D a+b c5已知 + + 0，| |2，| |3，| | 19，则向量 与 之间的夹角 ba,为A30 B45 C60 D以上都不对6 已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2） ，B （4， 3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC 边上的中线长为 A2 B3 C4 D57已知 的 数 量 积 等 于与则 bakjibkjia3,2,2A15 B5 C3 D18已知 (1,)O， (,)， (1,)OP，点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q取得最小值时
3、，点 Q 的坐标为 A13(,)24B123(,)4C48(,)3D47(,)3二、填空题：9若 A(m1，n1,3)，B(2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三点共线，则 m+n= 10已知向量 ),53(a， )3,2(b， )3,14(c，则向量 cb42的坐标为 .11在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G 为ABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE3ED ，以 AB， C， D为基底，则 GE 12设| m|1， | n|2，2 m n与 3 垂直， a4 m n，b7 2 ， 则 13.在空间直角坐标系 O xyz中,点 P(2,3,4)在平面 xOy内的射
4、影的坐标为 ;点 P(2,3,4)关于平面 的对称点的坐标为 ;14. 已知空间四边形 OABC,点 M,N 分别是边 OA,BC 的中点,且 OA=a,OB=b,OC=c,用 ,abc表示 MN= . 三、解答题：15如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系（1）写出 A、B1、E、D1 的坐标；（2）求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值 16. 已知 A(3,3,1)、B(1，0， 5)，求：线段 AB 的中点坐标和长度；到 A、B 两点距离相等的点 ),(zyxP的坐标 x、y、z 满足的条件17.用向量法证明：如果
5、两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行已知：直线 OA平面 ，直线 BD平面 ，O、B 为垂足求证：OA/BD18. （13 分） ）已知空间三点 A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量 ACB,为一组邻边的平行四边形的面积 S；若向量 a 分别与向量 ,垂直，且|a| 3，求向量 a 的坐标。19如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA 平面 ABCD，E、F 分别是 AB、PC的中点（1）求证：EF平面 PAD；（2）求证：EFCD；（3）若PDA45，求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小 20如图正方体 ABCD- 1DCBA中，E 、F 、G
6、分别是 B1、AB、BC 的中点（1）证明： F1EG；（2）证明： 平面 AEG；（3）求 AEcos， BD1参考答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） C题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D D C B A C二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）9 2310 (6,09) 11 D4312120 13. (2,3,0);(2,3,-4) 14. 1()2bca三、解答题（本大题共 6 题，共 80 分）15.(13 分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2,
7、 2)(2) (0, -2, 2)， (0, 1, 2) AB1 ED1 | |2 ，| | ， 0242, AB1 2 ED1 5 AB1 ED1 cos ， AB1 ED1 2225 1010 AB1 与 ED1 所成的角的余弦值为 101016. .(13 分) 解：设 ),(zyxM是线段 AB 的中点，则(21OBA 2(3,3,1)(1，0，5) (2, 23,3)线段 AB 的中点坐标是(2,3,3)29)15()0()1(22BAd、点 ,zyxP到 A、B 两点距离相等，则 222)()3()(z222)5()0()(zyx化简，得 07864yx即到 A、B 两点距离相等的
8、点 ),(zyxP的坐标 x、y、z 满足的条件是zyx17. .(13 分) 证明：以点 O 为原点，以射线 OA 为非负 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz， i,j,k 为沿 x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设 BD ),(zBD ， BDi， j， i ),(zyx(1,0,0)x0，Bj (0,1,0)y0, D(0,0,z) Bzk即 D/k由已知 O、B 为两个不同的点，OA/BD18. .(13 分) 解： 21|cos),231(),2( ACBACBAC60， 760sin|BS设 a(x,y,z) ，则 ,32zyxa3|,0322zyxAC解得 xyz1 或 x
9、yz 1，a (1,1,1), a( 1，1，1).19(14 分) 证：如图，建立空间直角坐标系 Axyz，设 AB2a，BC2b，PA2c ，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0) ，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c) E 为 AB 的中点，F 为 PC 的中点 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1) (0, b, c) ， (0, 0, 2c)， (0, 2b, 0) EF AP AD ( ) 与 、 共面 EF 12 AP AD EF AP AD又 E 平面 PAD EF平面 PAD(2) (-2a, 0, 0 ) (-2a
10、, 0, 0)(0, b, c)0 CD CD EF CDEF (3)若 PDA45，则有 2b2c，即 bc， (0, b, b)， EF(0, 0, 2b) cos ， ， 45 AP EF AP 2b22b2b 22 EF AP 平面 AC， 是平面 AC 的法向量 EF 与平面 AC 所成的角为： AP AP90 ， 45 EF AP20 （14 分）解：以 D 为原点， DA、DC 、 1DA所在的直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 1C棱长为 a，则 D（0， 0，0） ，A（a，0，0） ，B （a ，a ，0） ， 1D（0，0，a） ，E（a，a， 2） ，F（a， 2，0） ，G（ ，a，0） （1） D(， ，-a） ， 2(a，0，)， )21E， EGFD1（2） 0(A，a， ） ， 021 aaAEFD F1 G， 1平面 AEG（3）由 (E，a， 2） ， B1（a，a ， ）211 25cos, 10()4ADBa
