1、24.2 抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题知识链接类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线 y22px ( p0)的范围、对称性、顶点、离心率怎样用方程验证？答：(1)范围：x0，yR；(2)对称性：抛物线 y22px (p0)关于 x 轴对称；(3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率用 e表示，由定义可知 e1.预习导引1抛物线的几何性质标准方程 y22px( p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py( p0)图形范
2、围 x0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴顶点 (0,0)性质离心率 e12.焦点弦直线过抛物线 y22px (p0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，AFx 1 ，BFx 2 ，故 ABx 1x 2p.p2 p23直线与抛物线的位置关系直线 ykxb 与抛物线 y2 2px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x22( kbp)xb 20 的解的个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当 0时，直线与抛物线有一个公共点；当 0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即
3、3，p2p6.抛物线的方程为 y212x 或 y212x，其准线方程分别为 x3 和 x3.规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程跟踪演练 1 已知双曲线方程是 1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方x28 y29程及抛物线的准线方程解 因为双曲线 1 的右顶点坐标为(2 ，0) ，所以 2 ，且抛物线的焦点在 x 轴x28 y29 2 p
4、2 2正半轴上，所以，所求抛物线方程为 y28 x，其准线方程为 x2 .2 2要点二 抛物线的焦点弦问题例 2 已知抛物线 y26x ，过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及 P1P2.解 设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)P 1，P 2 在抛物线上，y 6x 1，y 6x 2.21 2两式相减，得(y 1y 2)(y1y 2)6(x 1x 2)y 1y 22，k 3，y1 y2x1 x2 6y1 y2直线方程为 y13( x4)，即 3xy110.由Error!得 y22y 220，y 1
5、y 22，y 1y222.P 1P2 .1 1922 4( 22) 22303规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪演练 2 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 60，求 AB 的值；(2)若 AB9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 ，3又 F( ，0) 32所以直线 l 的方程为 y
6、 (x )332联立Error!消去 y 得 x25x 0.94若设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)则 x1x 25，而 ABAFBFx 1 x 2 x 1x 2p.p2 p2所以 AB538.(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线定义知ABAFBF x 1 x 2p2 p2x 1x 2px 1x 239，所以 x1x 26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x ，32所以 M 到准线的距离等于 3 .32 92要点三 直线与抛物线的位置关系例 3 已知抛物线的方程为 y24x，直线 l 过定点 P(2,1)，斜率为 k，k 为何值时，直
7、线 l与抛物线 y24x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线 l 的方程为 y1k(x2) 由方程组Error!(*)可得 ky24y4(2 k1)0.(1)当 k0 时，由方程得 y1.把 y1 代入 y24x ，得 x .14这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点 ( ，1)14(2)当 k0 时，方程的判别式为16(2k 2k 1) 1由 0，即 2k2k 10，解得 k1，或 k .12于是，当 k1，或 k 时，方程只有一个解，从而方程组(*) 只有一个解这时，直线12l 与抛物线只有一个公共点2由 0，得 2k2k 10，解得 k .12于是，当 k 时
8、，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解这时，直线 l 与抛12物线没有公共点综上，我们可得当 k1，或 k ，或 k0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点；12当1 时，直线 l 与抛物线没有公共点12规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为 0 的情况跟踪演练 3 如图，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB，AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值证明 设 kAB k(k0)，直线 AB，AC 的倾斜角互补，k ACk (k0)，AB 的方程是 yk
9、(x4)2.由方程组Error!消去 y 后，整理得k2x2(8k 2 4k1)x 16k 2 16k40.A(4,2) ，B (xB，y B)是上述方程组的解4x B ，即 xB .16k2 16k 4k2 4k2 4k 1k2以k 代换 xB中的 k，得 xC ，4k2 4k 1k2k BC yB yCxB xC k(xB 4) 2 k(xC 4) 2xB xC .k(xB xC 8)xB xC k(f(8k2 2,k2) 8) 8kk2 14直线 BC 的斜率为定值1以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与 x 轴垂直的弦 )长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案 y
10、28x 或 y28x解析 设抛物线 y22px 或 y22px(p0)，p4.2若抛物线 y2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为_答案 ( ， )18 24解析 由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F( ，0) ，所以 P 点的横坐标为 ，代入抛物线方程得 y ，故点 P 的坐14 18 24标为( ， )18 243若抛物线 y4x 2 上一点到直线 y4x5 的距离最短，则该点坐标为_答案 ( ，1)12解析 因为 y4x 2 与 y4x5 不相交，设与 y4x5 平行的直线方程为 y4
11、xm.则Error!4x 24x m0.设此直线与抛物线相切有 0，即 16 16m0，m 1.将 m1 代入式得 x ，从而 y 41，12 14所求点的坐标为( ，1)124经过抛物线 y22x 的焦点且平行于直线 3x2y50 的直线 l 的方程是_答案 6x4y30解析 设直线 l 的方程为 3x2yc0，抛物线 y22x 的焦点为 F( ，0)，所以123 20c0，12所以 c ，故直线 l 的方程是 6x4y30.321.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件3
12、直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.一、基础达标1设 AB 为过抛物线 y22px ( p0)的焦点的弦，则 AB 的最小值为_答案 2p解析 当 AB 垂直于对称轴时，AB 取最小值，此时 AB 即为抛物线的通径，长度等于 2p.2已知抛物线 y22px (p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为 2
13、，则该抛物线的准线方程为_答案 x1解析 抛物线的焦点为 F( ， 0)，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx ，即p2 p2xy ，代入 y22px 得 y22p 2pyp 2，即 y2 2pyp 20，由根与系数的关系得p2 (y p2)p2(y 1，y 2 分别为点 A，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y24x，准线方程为y1 y22x1.3过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，若 A、B 在准线上的射影为 A1、B 1，则A 1FB1 等于_答案 90解析 如图，由抛物线定义知 AA1AF，BB 1BF，所以AA 1FAFA 1，又AA 1
14、FA 1FO，AFA 1A 1FO，同理BFB 1B 1FO，于是AFA 1BFB 1A 1FOB 1FOA 1FB1.故 A1FB190.4抛物线 y28x 的准线方程是_答案 x2解析 抛物线 y22px (p0)，p4.5过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A，B 两点，设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)若x1x 26，则 AB_.答案 8解析 如图，作 AAl，BBl，垂足分别为 A，B.由抛物线定义知AFAAx 1 ，p2BFBBx 2 .p2ABAFBFx 1x 2p628.6已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 4，OA
15、AF 则点 A 的坐标是_答案 (1,2)或(1，2)解析 抛物线的焦点为 F(1,0)，设 A( ，y 0)，y204则 ( ，y 0)， (1 ，y 0)，OA y204 AF y204由 4，得 y02，OA AF 点 A 的坐标是(1,2)或(1， 2)7如图所示，过抛物线 y22px (p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点A、B，交其准线于点 C，若 BC2BF，且 AF3，求此抛物线的方程解 过 A、B 分别作准线的垂线 AA、BD，垂足分别为 A、D，则 BFBD ，又 2BFBC， 在 RtBCD 中，BCD30.又 AF3，AA3，AC6，FC 3.F 到准线距离 p
16、FC .12 32y 23x.二、能力提升8已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，则cosAFB_.答案 45解析 由Error!得 x25x 40，x 1 或 x4.不妨设 A(4,4)，B(1，2)，则| |5，| |2， (3,4)(0，2)8，FA FB FA FB cosAFB .FA FB |FA |FB | 852 459已知直线 yk (x2)(k 0)与抛物线 C：y 28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点若FA2FB，则 k_.答案 223解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知 x10，x 20，y
17、 10，y 20，由Error!得 k2x2(4k 28)x4k 20，x 1x24，FAx 1 x 12，p2FBx 2 x 22，且 FA2FB，p2x 12x 22.由得 x21，B(1,2 )，代入 yk( x2)，得 k .222310抛物线 x22py (p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于 A，B 两点，若x23 y23ABF 为等边三角形，则 p_.答案 6解析 抛物线的焦点坐标 F(0， )，准线方程为 y .代入 1 得|x| .若要p2 p2 x23 y23 3 p24使ABF 为等边三角形，则 tan ，解得 p236，p6.6 |x|p 3 p24p 331
18、1已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 1 的一个焦点，并且这条准线与x2a2 y2b2双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为 P( ， )，求抛物线方程和双曲线方32 6程解 依题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，点( ， )在抛物线上，32 662p ，32p2，所求抛物线方程为 y24x.双曲线左焦点在抛物线的准线 x1 上，c1，即 a2b 21，又点( ， )在双曲线上，32 6 1，94a2 6b2由Error!解得：a 2 ，b 2 .14 34所求双曲线方程为 4x2 y21.4312已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y2x1 截得的弦长为 ，求抛物线15的方程解 设抛物线的方程为 y22ax，则Error!消去 y，得4x2(2 a4)x 10，设直线 y2x1 与抛物线交于 A、B 两点，其坐标为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，x1x 2 ，x 1x2 .a 22 14AB |x1x 2|1 k2 5(x1 x2)2 4x1x2 .5(f(a 2,2)2 414 15则 ，a 24a120，a24 a 3a2 或 6.y 24x 或 y212x.三、探究与创新
