1、1平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查2向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题3向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量4平面向量的数
2、量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题5平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题.题型一 向量的共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量 a、b(a0) 共线存在唯一实数 ，使ba；(2)向量 a(x 1，y 1)， b( x2，y 2)共线x 1y2x 2y10；(3)向量 a 与 b 共
3、线|a b|a|b|；(4) 向量 a 与 b 共线存在不全为零的实数 1， 2，使 1a 2b0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点例 1 设坐标平面上有三点 A、B、C ，i、j 分别是坐标平面上 x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量 i 2j， im j，那么是否存在实数 m，使 A、B、C 三点共线AB BC 解 方法一 假设满足条件的 m 存在，由 A、B、C 三点共线，即 ，AB BC 存在实数 ，使 ，i 2j(i mj )，AB BC 即Error!m2，当 m2 时，A、B、C 三点共线方法二 假设满足条件的 m 存在，根据题意可知i(
4、1,0)，j(0,1)， (1,0)2(0,1)(1，2) ， (1,0)m(0,1)(1 ，m)，AB BC 由 A、B、C 三点共线，即 ，AB BC 故 1m1(2)0，解得 m2，当 m2 时，A、B、C 三点共线跟踪演练 1 如图所示，在ABC 中， ，P 是 BN 上的一点，若AN 13NC m ，则实数 m 的值为_AP AB 211AC 答案 311解析 设 ，BP BN 则 m BP BA AP AB AB 211AC (m1) .AB 211AC .BN BA AN AB 14AC 与 共线， (m1) 0，m .BP BN 14 211 311题型二 向量的夹角及垂直问题
5、1求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos ，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模ab|a|b|(2)cos ，求解的前提是：可以求出两个向量的坐标x1x2 y1y2x21 y21x2 y22解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x 1x2y 1y20”较为简单3用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角例 2 已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4) (1)求证：ABAD；(2)若四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的
6、坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值(1)证明 A(2,1)，B(3,2) ，D (1,4) ， (1,1)， (3,3) AB AD 1(3)13 0，AB AD ，即 ABAD.AB AD (2)解 ，四边形 ABCD 为矩形，AB AD .AB DC 设 C 点坐标为(x，y )，则 (x1，y4)，DC Error!解得Error!点 C 坐标为(0,5)从而 (2,4)， (4,2)，且| |2 ，| |2 ， 8816，AC BD AC 5 BD 5 AC BD 设 与 的夹角为 ，AC BD 则 cos .AC BD |AC |BD | 1620 45矩形 ABCD
7、的两条对角线所夹锐角的余弦值为 .45跟踪演练 2 已知向量 (2,0)， (2,2)， ( cos ， sin )，则 与 夹角的OB OC CA 2 2 OA OB 范围是_答案 12，512解析 建立如图所示的直角坐标系 (2,2)， (2,0)，OC OB ( cos ， sin )，CA 2 2点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心， 为半径的圆2过原点 O 作此圆的切线，切点分别为 M，N ，连结 CM、CN，如图所示，则向量 与 的OA OB 夹角范围是MOB ， NOB.OA OB | |2 ，OC 2| | | | | |，知COMCON ，CM CN 12OC 6又COB
8、. MOB ，NOB ，4 12 512故 ， .12 OA OB 512题型三 向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a| 2a 2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a| ，将x2 y2它转化为实数问题，使问题得以解决例 3 设|a| |b|1，|3 a2b |3，求|3ab| 的值解 方法一 |3a2b| 3，9a 212ab4b 29.又|a| |b|1 ，ab .13|3 a b|2(3 ab) 29a 26a bb
9、 296 112.13|3 a b|2 .3方法二 设 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)|a |b|1， x y x y 1.21 21 2 23a2b(3x 12x 2,3y12y 2)，|3 a 2b| 3.3x1 2x22 3y1 2y22x 1x2y 1y2 .13|3 a b| 3x1 x22 3y1 y22 2 .9 1 613 3跟踪演练 3 设 0|a|2，f(x) cos 2x| a|sin x| b|的最大值为 0，最小值为4，且 a 与 b 的夹角为 45，求 |ab|.解 f(x )1sin 2 x|a|sin x|b| 2 |b|1.(sin x |a|2)
10、 |a|240|a|2，当 sin x 时， |b|10；|a|2 |a|24当 sin x1 时， |a| b|4.由Error!得Error!|a b |2(a b)2a 22abb 22 2222cos 452 284 ，2|a b | 2 .8 42 2 21.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题2向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧
