1、14 生活中的优化问题（一）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-面积、容积最大（最小）问题教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例 1 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为 xcm，则箱高 ，260xh箱子容积 (0x60) V2)(322360)(xx,026)(令解得 (不合题意，
2、舍去) 并求得 ,4x.016)4(V由题意知，当 x 过小( 接近 0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值答：当 x40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f (x)0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值 这里所说的也适用于开区间或者无穷区间求最大（最小）值应用题的一般方法： 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式； 确定函数的定义域，并求出极值点； 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点练习
3、1把长为 60 cm 的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？2把长为 100 cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？练习 2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积例 2教材 P34 面的例 1。606014 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-用材最省的问题-教学重点：利用导数求函数最值
4、的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例 1 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积 S2Rh2R 2,2RV由 ,2V得则 22)(S.2R,04)(2VR令 ,3V解 得从而 即 h2R2h233,3因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省例 2 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C 1004q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润
5、L 最大.8125p分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格 .由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润解： 2815)2(qqp收 入 )40()815(2CRL利 润 )20(102q求得唯一的极值点 q84， 即令 40q因为 L 只有一个极值，所以它是最大值hR答：产量为 84 时，利润 L 最大练习 1.某商品一件的成本为 30 元，在某段时间内若以每件 x 元出售，可卖出(200x )件，应如何定价才能使利润最大？例 3教材 P34 面的例 2课后作业14 生活中的优化问题（三）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会
6、求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-用材最省的问题-教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例 1 。教材 P35 面的例 3例 2某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元（9a11）时，一年的销售量为(12-x) 2 万件.（1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值
7、 Q(a).例 3请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 的距离为多少时，帐篷1o的体积最大？解：设 OO1 为 ，则xm4x由题设可得正六棱锥底面边长为：， （单位： ）2228)(3m故底面正六边形的面积为：= ， （单位： ）462)x)8(32x 2帐篷的体积为： )8(3V2x）（ 1)(3)16(33x求导得 。1 x）（令 ，解得 （不合题意，舍去） ， ，0）（ x 2x当 时， ， 为增函数；210）（ ）（V当 时， ， 为减函数。4）（ ）（当 时， 最大。）（ x答：当 OO1 为 时，帐篷的体积最大，最大体积为 。m316m例 4水库的需水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系为：OO1.1205)413(04()2 tttetVt， ，（1）该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期，以 i-1ti 表示第 i 月份（i=1，2， 12） ，问一年内哪几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7 计算）.
