1、巧用向量求解共线、共面问题证明三点共线和四点共面是空间向量的重要应用解决这类问题的关键是把三点共线和四点共面问题分别转化为向量共线和向量共面问题依据共线向量、共面向量定理和向量基本定理可以有下面的具体结论：（1） 、 、 三点共线 ABC 存在实数 x，使 ACxB存在惟一的一对实数 x，y ，使得 Oxy，且 1y（2） 、 、 、 四点共面 D与，共面 存在实数对 ()xy， ，使ADxByC存在惟一的一组实数 x，y，z，使得 OABzOC，且1z下面举例说明其应用一、三点共线问题例 在空间中，已知点 (251)(42)(3)ABC， ， ， ， ， ， ， ， ，求证：点 、 、 共线
2、证明：由已知，得 (3)(6)BC， ， ， ， ， 因为 (62)1， ， ， ， ，所以 2AB故 、 、 共线点评：本题通过向量的坐标运算转化为向量关系，运用方法（）得证例 2 已知 OABCODE， ， ， ，abcde又点 、 、 不共线，如果a=3c，b=2d， ()te， tR试问：t 为何值时， 、 、 三点共线？解析： 322EtCtOD c由于点 、 、 不共线，得 OCD， 不共线，若使点 、 、 共线，则有3t+2t=1，解得 15t故当 时， 、 、 三点共线点评：本题先表示为向量之间的线性关系，然后直接运用（）的结论求解二、四点共面问题例 3 已知正方体 1ABCD
3、， 、 为空间任意两点，若11764PM，试问 点是否一定在平面 1BAD内？并证明你的结论解析： 111764PMBAD1()11174PBAD111()()P1634PBAD由 ，得 、 、 1A、 四点共面故 点在平面 1内点评：本题运用空间向量的加、减与数乘运算，转化向量之间的关系后，依据方法（）得证例 4 如图，矩形 ABCD所在平面 外一点 ，连接PA、PB、PC 、PD（1）四个三角形 PAB，PBC ，PCD，PDA 的重心 、 、 、 是否共面？（2）若四点共面，请指出此面与面?琢的关系解析：（）连结 PEFGPH， ， ， 并延长分别交ABCDA， ， ，于点 、 、 、
4、，则 、 、 、 分别为， ， ，边的中点因此四边形 MNRQ是平行四边形，且 23EM， 23PFN， 23GPR，23PH又 PN322EF3H。而 3()2MRPGPE，得 EGF显然，四点 、 、 、 共面；（2）由（1）知 32MREG ，从而 E 面 NQ，即 面 又 233HPPQM， HE 从而 面 R，即 HE 面 由于 EG，故面 FG 面 点评：本题结合向量的加、减运算，将所求解的问题转化为方法（1） ，从而产生结论，在第（2）小题中用线面平行的判定定理得到线面平行巧用 Aab解题两个向量 a、b 的数量积具有性质： ，当且仅当 a 与 b 同向时取等号此不等式结构简单、
5、形式隽永、内容丰富运用它可以巧妙地解决求最值和证明不等式等问题一、巧求最值例 已知 2k， ， Z，求 22211sincosincs的最小值解： 2211sincosinc222ii22211sincoscosin 设 i im， ， ，(sncosn)， ， ，则 22211icosi， 1n， 3Am Amn，22 mn，即 222119sicosics 故 nn的最小值为 9例 2 求实数 x、y 的值，使得 222()(1(3)(6)fxyxyxy， 取得最小值解：令 (1362)， ，a， ()， ，b，则 )(1yxxyAAAb ，222()()f， ，16由 Aab，得 ()6fxyA ， ，即 1()6fxy， ，当且仅当 32011yx，即 526x， 时， ()fy， 取得最小值 6故所求 x、y 的值分别为 52， 二、巧证不等式例 3 设三角形三边长为 a、b、c，且 a+b+c=2p求证： 3pp 证明：构造空间向量，设 ()(1)， ， ， ， ，mn，则abcAn3pabpcpA。原不等式成立例 已知 x、y 、z 都是正实数，求证：22xyzxyzz证明：设 yzx， ，a， ()bz， ， ，则 xyAb，22zyxy， ()xy。由于 Aab，得22()xyzxyzxyzA，即22xyz原不等式成立
