1、空间中的垂直关系一. 教学内容：空间中的垂直关系二、教学目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：判定定理： ,Pbaa lbla,. b, ab a；（线面垂直性质定理）,a a（面面
2、平行性质定理） ， =l，a l，a a（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （ a，b ab）直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（ bba,）4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所
3、得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。记作：平面 平面 （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （简称：面面垂直，线面垂直。 ）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。【典型例题】例 1、 （1）对于直线 m、n 和平面 、， 的一个充分条件是（ ）A、mn，m，n B、mn，=m ，n C、mn，n，m D、mn，n， m（2）设 a、b 是异面直线，给出下列命题：经过直线
4、 a 有且仅有一个平面平行于直线 b；经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b；存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；存在分别经过直线 a 和 b 的两个平面互相垂直。其中错误的命题为（ ）A、与 B、与 C、与 D、仅（3）已知平面 平面 ，m 是 内一条直线，n 是 内一条直线，且 mn，那么，甲：m；乙：n 丙：m 或 n；丁：m 且 n。这四个结论中，不正确的三个是（ ）解：（1）对于 A，平面 与 可以平行，也可以相交，但不垂直。对 B，平面 内直线 n 垂直于两个平面的交线 m，直线 n 与平面 不一定垂直，平面、 也不一定垂直。对 D，m，mn 则 n，又 n，所以
5、。只有 C 正确，mn，n 则 m 又 m，由平面与平面垂直的判定定理得 。故选 C。（2）正确，过 a 上任一点作 b 的平行线 b，则 ab确定唯一平面。错误，假设成立则 b该平面，而 a 该平面，ab ，但 a、b 异面却不一定垂直。正确，分别过 a、b 上的任一点作 b、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅错误 选 D（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线 m（或 n） ，在另一平面作交线的垂线 n（或 m）即可推翻甲、乙、丁三项。思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。
6、例 2、如图，ABCD 为直角梯形，DAB=ABC=90 ， AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a 。（1）求证：PCCD。（2）求点 B 到直线 PC 的距离。（1）证明：取 AD 的中点 E，连 AC、CE ，则 ABCE 为正方形，CED 为等腰直角三角形，AC CD ，PA平面 ABCD，AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影，PC CD （2）解：连 BE，交 AC 于 O，则 BEAC，又 BEPA，ACPA= A， BE平面 PAC过 O 作 OHPC 于 H，则 BHPC，PA=a ，AC= 2a,PC= 3a， OH=a61，BO= a，BH= aOHB
7、32即为所求。例 3、在斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面 BB1C1C底面ABC （1）若 D 是 BC 的中点，求证 ADCC 1；（2）过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若 AM=MA1，求证 截面MBC1 侧面 BB1C1C；（3）AM=MA 1 是截面 MBC1平面 BB1C1C 的充要条件吗？ 请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考
8、与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。（1）证明：AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC底面 ABC侧面 BB1C1C，AD侧面 BB1C1CADCC 1 （2）证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1NAM=MA 1，NA 1=A1B1A 1B1=A1C1，A 1C1=A1N=A1B1C 1NC 1B1底面 NB1C1侧面 BB1C1C，C 1N侧面 BB1C1C截面 C1NB侧面 BB1C1C截面 MBC1侧面 BB1C1C （3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性。过 M 作 MEBC 1 于 E，截面 MBC1侧面 BB1C1
9、CME侧面 BB1C1C，又AD侧面 BB1C1C MEAD ，M、E、D、A 共面AM侧面 BB1C1C，AMDECC 1AD ，DECC 1D 是 BC 的中点，E 是 BC1 的中点AM=DE = 2CAA1，AM=MA 1即 MA是截面 CB1平 面的充要条件例 4、如图，在正三棱锥 ABCD 中，BAC=30，AB=a,平行于 AD、BC 的截面 EFGH分别交 AB、BD、DC 、CA 于点 E、F、G 、H （1）判定四边形 EFGH 的形状，并说明理由 （2）设 P 是棱 AD 上的点，当 AP 为何值时，平面 PBC平面 EFGH，请给出证明 （1）证明：AD/面 EFGH,
10、面 ACD面 EFGHHG，AD 面 ACD AD/HG.同理 EFHG，EFGH 是平行四边形ABCD 是正三棱锥，A 在底面上的射影 O 是BCD 的中心，DOBC，ADBC，HGEH ，四边形 EFGH 是矩形 （2）作 CPAD 于 P 点，连结 BP，ADBC，AD面 BCPHGAD ， HG面 BCP，HG 面 EFGH 面 BCP面 EFGH，在 Rt APC 中，CAP=30， AC=AB=a,AP= 23a 例 5、如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ABC是直角三角形，ABC=90，2AB=BC=BB1=a，且 A1CAC1=D，BC 1B1C=E，截面 AB
11、C1 与截面 A1B1C 交于DE。求证：（1）A 1B1平面 BB1C1C；（2）A 1CBC 1；（3）DE平面 BB1C1C。证明：（1）三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，侧面与底面垂直，即平面 A1B1C1平面 BB1C1C，又ABBC，A 1B1B 1C1从而 A1B1平面 BB1C1C。（2）由题设可知四边形 BB1C1C 为正方形，BC 1B 1C，而 A1B1平面 BB1C1C， A 1C 在平面 BB1C1C 上的射影是 B1C，由三垂线定理得 A1CBC 1（3）直三棱柱的侧面均为矩形，而 D、E 分别为所在侧面对角线的交点，D 为 A1C 的中点，E 为 B1C
12、的中点，DEA 1B1， 而由（1）知 A1B1平面 BB1C1C，DE平面 BB1C1C。思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。本讲涉及的主要数学思想方法1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直” “线面垂直”， “面面垂直” 间的转化条件和转化应用。
