1、网人教 B 版 数学 必修 2：空间点、直线、平面之间的位置关系小结一、选择题1. a,b 是两条异面直线， （ ）A若 P 为不在 a、b 上的一点，则过 P 点有且只有一个平面与 a，b 都平行B过直线 a 且垂直于直线 b 的平面有且只有一个C若 P 为不在 a、b 上的一点，则过 P 点有且只有一条直线与 a，b 都平行D若 P 为不在 a、b 上的一点，则过 P 点有且只有一条直线与 a，b 都垂直2.若三棱锥 SABC 的项点 S 在底面上的射影 H 在ABC 的内部，且是在 ABC 的垂心，则 ( )A三条侧棱长相等 B三个侧面与底面所成的角相等CH 到ABC 三边的距离相等 D
2、点 A 在平面 SBC 上的射影是SBC 的垂心3. a、b 是异面直线，下面四个命题：过 a 至少有一个平面平行于 b；过 a 至少有一个平面垂直于 b；至少有一条直线与 a、b 都垂直；至少有一个平面分别与 a、b 都平行，其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D34. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B 、C、 D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为 ( )A. 90 B .60 C. 45 D.305. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，A 1A=AB=2，若棱 AB 上存在一点 P，使得 D1PPC，则棱 AD
3、的长的取值范围是 （ ）A B C D2,12,0()2,0(,0(二、填空题6. 已知直线 m，n，平面 ，给出下列命题：,若 ；若 ；则, /,/则m若 ；若异面直线 m，n 互相垂直，则存在过 m 的平面与 n 垂直. 其中正确的命则/题的题号为 7. 设 是三条不同的直线， 是三个不同的平面，下面有四个命题：lmn、 、 、 、 ,ll若 则 ； ,lnl若 则 ； ,ll若 则 ； ,lm若 ,.lm则其中假命题的题号为 8. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：AB 与 EF 所在的直线平行；AB 与 CD 所在的直线异面；MN 与 BF 所在的直线成
4、60角；MN与 CD 所在的直线互相垂直.其中正确的命题是 9. 有 6 根细木棒，其中较长的两根分别为 ， ，a32其余 4 根均为 ，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直a 线所成的角E N AF C BDM网的余弦值为 . 10. 下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) 三、解答题11. 下列五个正方体图形中， 是正方体的一条对角线，点 M，N，P 分别为其
5、所在棱的中点，求能得出l 面 MNP 的图形的序号( 写出所有符合要求的图形序号)l12. 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长的 3，侧棱 AA1= D 是 CB 延长线上一点，且,23BD=BC.（）求证：直线 BC1/平面 AB1D；（）求二面角 B1ADB 的大小；（）求三棱锥 C1ABB1 的体积.13. 如图，已知四棱锥 SABCD 的底面 ABCD 是正方形，SA底面ABCD，E 是 SC 上的一点.(1)求证：平面 EBD平面 SAC；(2)设 SA4，AB2，求点 A 到平面 SBD 的距离；(3)当 的值为多少时，二面角 BSC D 的大小为 120.SAAB A
6、B CDES网14. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D 、 E、 F 分别为各边的中点将ABC 沿 DE、 EF、 DF 折叠，使A、 B、 C 三点重合，构成三棱锥 A DEF (I)求平面 ADE 与底面 DEF 所成二面角的余弦值()设点 M、 N 分别在 AD、 EF 上， ( O， 为变量)NM当 为何值时，MN 为异面直线 AD 与 EF 的公垂线段? 请证明你的结论设异面直线 MN 与 AE 所成的角为 a，异面直线 MN 与 DF 所成的角为 ，试求 a+ 的值【课时 42 答案】1.D2.D3.A4.C5.D6.、7.、8.、9. 3610.、11. 为了得到本题答案
7、，必须对 5 个图形逐一进行判别对于给定的正方体，l 位置固定，截面 MNP 变动，l 与面 MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断在 MN、NP、MP 三条线中，若有一条不垂直l，则可断定 l 与面 MNP 不垂直；若有两条与 l 都垂直，则可断定 l面 MNP；若有 l 的垂面面 MNP，也可得 l面 MNP解法 1 作正方体 ABCDA 1B 1 C1 D1 如附图，与题设图形对比讨论在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR 和 CB 1 D1 都是对角线 l (即 AC1)的垂面对比图，由 MNBA l，MP BD，知面 MNP面 BA l D，故得 l面 MNP对比图，由 MN
8、与面 CB1D1 相交，而过交点且与 l 垂直的直线都应在面 CBl Dl 内，所以 MN 不垂网直于 l，从而 l 不垂直于面 MNP对比图，由 MP 与面 BA l D 相交，知 l 不垂直于 MN，故 l 不垂直于面 MNP对比图，由 MNBD，MPBA知面 MNP面 BA 1 D，故 l面 MNP对比图，面 MNP 与面 EFGHKR 重合，故 l面 MNP综合得本题的答案为解法 2 如果记正方体对角线 l 所在的对角截面为 各图可讨论如下：在图中，MN,NP 在平面 上的射影为同一直线，且与 l 垂直，故 l面 MNP事实上，还可这样考虑：l 在上底面的射影是 MP 的垂线，故 lM
9、P ；l 在左侧面的射影是 MN 的垂线，故lMN，从而 l面 MNP在图中，由 MP面 ，可证明 MN 在平面 上的射影不是 l 的垂线，故 l 不垂直于 MN从而 l不垂直于面 MNP在图中，点 M 在 上的射影是 l 的中点，点 P 在 上的射影是上底面的内点，知 MP 在 上的射影不是 l 的垂线，得 l 不垂直于面 MNP在图中，平面 垂直平分线段 MN，故 lMN又 l 在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与 MP 垂直，从而 lMP ，故 l面 MNP在图中，点 N 在平面 上的射影是对角线 l 的中点，点 M、P 在平面 上的射影分别是上、下底面对角线的 4 分点，三个射
10、影同在一条直线上，且 l 与这一直线垂直从而 l面 MNP至此，得为本题答案12. （）证明：CD/C 1B1，又 BD=BC=B1C1， 四边形 BDB1C1 是平行四边形， BC 1/DB1.又 DB1 平面 AB1D，BC 1 平面 AB1D，直线 BC1/平面 AB1D.（）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1，B 1B平面 ABD，B 1E AD ，B 1EB 是二面角 B1ADB 的平面角，BD=BC=AB，E 是 AD 的中点， .23AC在 Rt B1BE 中，B 1EB=60.32tan1E即二面角 B1ADB 的大小为 60（）解法一：过 A 作 AFBC 于 F
11、，B 1B平面 ABC，平面 ABC平面 BB1C1C，AF平面 BB1C1C，且 AF= ,32 AFSVBCBAC1113即三棱锥 C1ABB1 的体积为.8273)2(3 .827解法二：在三棱柱 ABCA1B1C1 中， 11111 CBACABAB VS即三棱锥 C1ABB1 的体积为.8273)4(3121SCBA .827网13. (1)证明：SA 底面 ABCD，BD 底面 ABCD，SABDABCD 是正方形， ACBDBD平面 SAC，又 BD 平面 EBD平面 EBD平面 SAC.(2)解：设 ACBDO，连结 SO，则 SOBD由 AB2，知 BD2 2SO SA2 A
12、O2 42 (r(2)2 32SSBD BDSO 2 3 612 12 2 2令点 A 到平面 SBD 的距离为 h，由 SA平面 ABCD, 则 SSBDh SABDSA13 136h 224 h 点 A 到平面 SBD 的距离为 12 43 4314. （）如图，取 DE 的中点 G，连接 AG、FG 由题意 AD=AE，DEF 为正三角形，得 AGDE，AGF 为平面 ADE 与底面 DEF 所成二面角的平面角 由题意得 AG=FG= 在 AGF 中，23312322 2222 （FGAAGFcos平面 ADF 与底面 DEF 所成二面角的余弦值为（） （1）=1 时，MN 为异面直线
13、AD 与 EF 公垂线段 当 =1，M 为 AD 的中点， N 为 FF 的中点，连结 AN、DN，则由题意，知 AN=DN= ，MN AD，同理可证 MNEF 23=1 时，MN 为异面直线 AD 与 EF 公垂线段 （2）过点 M 作 MHDF ，交 AF 于点 H，则HMN 为异面直线 MN 与 DF 所成的角 由 MHDF，得 ，NFEMDAFA， 又 NAHN/AE，MNH 为异面直线 MN 与 AE 所成的角 +=MNH+HMN=MHN 由题意得，三棱锤 ADEF 是正棱锤，则点 A 在底面 DEF 上的射影为底面DEF 的中心，记为 O AE 在底面 DEF 上的射影 EODF， AEDF又HN/AE，MH/DF ，MNH= ， 22MHNAB CDESO网网高考#试!题+库
