1、椭圆及其性质【学习目标】 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质【考纲要求】椭圆方程为 B 级要求【自主学习】1椭圆的定义(1) 平面内与两定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于 21F)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距注： 当 2a |F1F2|时，P 点的轨迹是 当 2a|F 1F2|时，P 点的轨迹不存在2椭圆的标准方程(1) 焦点在 x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： 12byax，其中( 0，且 2a )(2) 焦点在 y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 2xy，其中 a，b
2、 满足： 3椭圆的几何性质(对 12bax,a b 0 进行讨论)(1) 范围： x ， y (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率： e ( 与 的比)， e ， e越接近 1，椭圆越 ； 越接近 0，椭圆越接近于 (5) 椭圆的参数方程为 4焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r 1 r22a(2) 余弦定理： 2r 1r2cos(2c) 2(3) 面积： 21FPS r1r2 sin 12c| y0 |(其中 P( 0,yx)为椭圆上一点，|PF1|r 1，|PF 2|r 2， F1PF2 )【基础
3、自测】1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 .2.若椭圆 =1 的离心率为 ，则实数 m= .myx2213 设椭圆 + =1(m0,n0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为2xny，则此椭圆的方程为 . 14（2008江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆(ab0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a 为半径作圆，12yax过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= .0,c典型例析例 1（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点P（3，0） ，求椭圆的方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（ ，1） 、P 2
4、（- ，- 2） ，求椭圆的方程.63例 2. 已知 F1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF2=60.（1）求椭圆离心率的范围；（2）求证：F 1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.例 3 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，经过两点 A(1， )，B( 2， )圆 F 的圆心是255 55椭圆 E 的右焦点 F，且圆 F 的半径恰等于椭圆的短半轴长()求椭圆 E 的标准方程；()若点 P 是圆 F 上的一个动点，求 的取值范围FPOP当堂检测1. 已知椭圆的长轴长是 8，离心率是 ，则此椭圆的标准方程是 .432. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个
5、正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则这个椭圆的方程为 .33. 已知以 F1（-2,0） ，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ y+4=0 有且仅有一个3交点，则椭圆的长轴长为 .4 经过椭圆 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 A、B 两点，x设 O 为坐标原点，则 等于 .OAB解 () 设椭圆 E 的标准方程为 mx2ny 21(m 0，n0，且 mn)2 分因为 A(1， )，B (2， )在椭圆 E 上，所以 4 分255 55解得 m ，n1，满足条件15所以所求椭圆 E 的标准方程为 y 216 分x25()由( )知椭圆 E 的右焦点为 F
6、(2，0)，短半轴长为 1，所以圆心坐标为(2，0) ，半径r1，所以圆 F 的方程为(x2) 2y 218 分设 P(x，y)，则 (x 2，y) ， (x，y )，所以FP OP x ( x2)y 2x 2y 22x2x 3 10 分FPOP因为(x 2)2y 21，所以( x 2)21，即1x21，得 1x3所以 12x33，即 的取值范围为1，314 分FPOP解法二 由()知椭圆 E 的右焦点为 F(2，0)，短半轴长为 1，所以圆心坐标为(2 ，0)，半径 r 1，所以圆 F 的方程为( x2) 2y 218 分设 P(2cos ，sin)， R ，则(cos，sin)， (2cos，sin )，FP OP所以 cos(2cos)(sin) 22cos 112 分FPOP因为1cos1，所以12cos13，即 的取值范围为1，314 分FPOP评注：() 中求椭圆 E 的标准方程时，若设 1(ab0)，则扣 2 分这里需要分类x2a2 y2b2讨论，情况 1(ab 0)不可能y2a2 x2b2
