1、指数函数教学目标1.掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.2.能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.3.能根据单调性解决基本的比较大小的问题.教学重点指数函数的定义、图象、性质教学难点指数函数的描绘及性质教学过程一.问题情景问题 1.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,一个这样的细胞分裂次以后,得到的细胞个数 与 有怎样的关系.xyx问题 2.有一根 1 米长的绳子,第一次剪去绳长的一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,剪去 次后绳子剩余的长度为 米,试写出 与 之间的关系.yx二.学生活动1.思考问题 1,2 给出 与
2、 的函数关系?yx2.观察得到的函数 , 与函数 的区别.21x2yx3.观察函数 , 与 的相同特点.xyxxa三.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）师:通过问题 1,2 的分析同学们得出 与 之间有怎样的关系?yx生 1:分裂一次得到 2 个细胞,分裂两次得到 ( )个细胞,分裂三次得到 ( ),所42832以分裂 次以后得到的细胞为 个,即 与 之间为 .xx x生 2:第一次剩下绳子的 ,第二次剩下绳子的 ( ),第三次剩下绳子的1214218( ),那么剪了 次以后剩下的绳长为 米,所以绳长 与 之间的关系为 .312xxyx2xy（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）师:这
3、两个关系式能否都构成函数呢?生:每一个 都有唯一的 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函xy数.师:（接着把 打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两2yx个函数 , 在形式上与函数 有什么区别.(引导学生从自变量的位置观yx12yx察).生:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而 的自变量在底上.2师:那么再观察一下 , 与函数 有什么相同点?y2x1xxya生:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.师:由此我们可以抽象出一个数学模型 就是我们今天要讲的指数函数.（在屏x幕上给出定义）定义:一般地,函数( )xya0,1叫做指数函数,它的定义域是 .
4、R概念解析 1:师:同学们思考一下为什么 中规定 ?(引导学生从定义域为 的角xya0,1aR度考虑).（先把 ， ， 显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）0a1生:若 ,则当 时, 没有意义.0x若 ,则当 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如: .x 12()若 ,则 ,这时函数就为一个常数 1 没有研究的价值了.1a所以,我们规定指数函数的底 .0,a师:很好,请坐.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题已知函数 为指数函数，求 的取值范围 （屏幕上给出问题）(32)xya生:由于 作为指数函数的底因此必须满足：a即32012|03且概念解析:师:我们知道形如 （ ）
5、的函数称为指数函数通过观察我们发现：xya0,1 前没有系数，或者说系数为既 ；xa1xa指数上只有唯一的自变量 ；x底是一个常数且必须满足： 0,那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题）问题 2 ， ， ，(0.)xy(2)xyxye1()3x ， ， ，13 2生:（答）为指数函数不是生: 我不同意，应该是指数函数，因为 13xxy师:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质师:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质根据解析式我们要作出函数图象一般有哪
6、几个步骤？生:（共同回答）列表，描点，连线师：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出 ， 和 ，2xy1x3xy的函数图象 （等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上13xy展示出来）师:那么我们下面就作出函数： ， ， ， 的图象2xy1x3xy1xx- 21 84 2x 214831793 7x 9师:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）生:函数的定义域都是一切实数 ，而且函数的图象都位于 轴上方Rx师:函数的图象都位于 轴上方与 有没有交点？随着自变量 的取值函数值的图象x
7、与 轴是什么关系？x生:没有随着自变量 的取值函数的图象与 轴无限靠近xx师:即函数的值域是： 那么还有没有别的性质？(0,)生:函数 、 是减函数，函数 、 是减函数12xy3x2xy3x师:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有说明是在哪个范围内又 ， 那么上述的结论可以归纳为：0,1,生:当 时，函数 在 上是减函数，当 时，函数 在1axyaR1axya上是增函数R师:很好，请做！（提问生 ）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？生:当自变量取值为时，所对的函数值为一般地指数函数 当自变量xy取时，函数值恒等于x师:也就是说指数函数恒过点 ，和
8、底 的取值没有关系那么你能否结合函数(0,1)a的单调性观察函数值和自变量 之间有什么关系？x生 3:由图象可以发现：当 时，若 ，则 ；若 ，则 .01a()f0x1()fx当 时，若 ，则 ；若 ，则 .0x1x师:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?生 4: 函数 与 的图象关于 轴对称,函数 与 的图象2xyxy3xy1x关于 轴对称,所以是偶函数.(? ? ? ?)y师:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?生:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.师:由此我们得到一般的结论, 函数 与 的图象关
9、于 轴对称.xyaxy师:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内. 01a1a图象定义域 RR值域 0,0,定点 11单调性 在 上是减函数,在 上是增函数,取值情况若 ，则0x()fx若 ，则 1若 ，则0x()fx若 ，则1性质对称性 函数 与 的图象关于 轴对称xyaxy巩固与练习根据指数函数的性质，利用不等号填空 （在屏幕上给出练习，让学生口答） ， ， ， ，3450150074290 ， ， ， 247912361四.数学运用例 1.比较大小 2.53.1,1.2.50,0.31.2,8解: 考虑指数函数 .因为()xf.1所以 在 上是增函数.因为
10、()1.5xfR2.53所以 .21考虑指数函数 .因为()05xf0.51所以 在 上是减函数.因为()1.5xfR.2.所以 1.1.50由指数函数的性质知 ，而 .3151.208所以 0.31.25例 2已知 ，求实数 的取值范围；0.53xx已知 ，求实数 的取值范围.2解：因为 ，1所以指数函数 在 上是增函数()3xfR由 ，可得 ，即 的取值范围为0.53x.50.5,因为 21所以指数函数 在 上是减函数，因为().xf2150.所以 2.x由此可得 ，即 的取值范围为 2x,五.回顾小结（ ） ， ） 要能根据概念判断一个函数是否为指数函数xya0,1xR指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性） 利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象六.课外作业课本 ，52P
