1、2.3 总体特征数的估计教学目标1通过实例理解样本的数字特征，如平均数，方差，标准差2能根据实际问题的需求合理地选取样本，从数据样本中提取基本的数字特征，并作出合理的解释重点难点重点（1）用算术平均数作为近似值的理论根据 （2）方差和标准差刻画数据稳定程度的理论根据难点：（1）平均数对总体水平进行评价时的可靠性(和中位数和众数之间的联系) （2）通过实例使学生理解样本数据的方差，标准差的意义和作用教学过程一算术平均数和加权平均数（一）问题情境某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位： s2)：962 95
2、4 978 994 1001 966 988 968 1032 976 945 999 981 956 978 972 993 994 965 979 942 968 970 984 990问题 1：怎样用这些数据对重力加速度进行估计？一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median） 一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数，算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数问题 2：用这
3、些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势” 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势” 平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数” ，它们各自特点如下：任何一个样
4、本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.问题 3：我们常用算术平均数 nia1(其中 ai(i1，2， n)为 n 个实验数据)作为重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差尽可能地小，我们考虑(x a1)2( x a2)2( x an)2，当 x 为何值时，此和最小(x a1)2( x a2)2( x an)2 nx22( a1 a2 an)x a12 a22 an2所以当 x 时离差的平方和最小a1 a2 ann（二）数学理论故可用
5、 x 作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这个数据a1 a2 anna1 a2 an的平均数或均值一般记为： a a1 a2 ann（三）数学应用例 1 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为 50 人）的语文测试成绩如下（总分：150 分） ，试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84 9
6、4 94 100 90 84 114乙班116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 100 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可解：用科学计算器分别求得甲班的平均分为 1011，乙班的平均分为 1054，故这次考试乙班成绩要好于甲班
7、此处介绍 Excel 的处理方法例 2：已知某班级 13 岁的同学有 4 人，14 岁的同学有 15 人，15 岁的同学有 25 人，16 岁的同学有 6 人， 求全班的平均年龄解：134 1415 1525 1664 15 25 613 14 15 16450 1550 2550 650 4 1525605101520253013岁 14岁 15岁 16岁这里的 ， ， ， ，其实就是 13，14，15，16 的频率45015502550650数学理论一般地若取值为 x1， x2， xn的频率分别是 p1， p2， pn，则其平均数为x1p1 x2p2 xnpn例 3下面是某校学生日睡眠时间
8、的抽样频率分布表(单位：h)，试估计该校学生的日平均睡眠时间分析：要确定这 100 名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示解法 1：总睡眠时间约为6.2556.75177.25337.75378.2568.752739（） 故平均睡眠时间约为 7.39解法 2：求组中值与对应频率之积的和原式6.250.056.750.177.240.337.750.378.250.068.750.027.39（） 答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7.39例 4某单位年收入在 10000 到 15000、15000 到20000、
9、20000 到 25000、25000 到 30000、30000 到 35000、35000 到 40000 及 40000 到50000 元之间的职工所占的比分别为 10，15，20，25，15，10和 5，试估计该单位职工的平均年收入分析：上述比就是各组的频率解 估计该单位职工的平均年收入为12500101750015225002027500253250015375001045000526125（元） 答估计该单位人均年收入约为 26125 元例 5小明班数学平均分是 78 分，小明考了 80 分，老师却说他是倒数几名，你觉得这可能吗？(再看书 P64 思考)二方差与标准差（一）问题情境
10、为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分某外贸公司要进口一批规格为 75g 的鸡腿，现有 2 个厂家提供货源，它们的价格相同鸡腿的品质也相近质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了 20 只鸡腿，它们的质量(单位： g)如下：甲厂 75 74 74 76 73 76 75 77 77 74睡眠时间 人 数 频 率6， 65)5 0 056 5，7)17 0 177， 75)33 0 337 5，8)37 0 378， 85)6 0 068 5，92 0 02合计 100 174 75 75 76 73 76 73 78 77 72乙厂 75 78 72 77 74
11、75 73 79 72 7580 71 76 77 73 78 71 76 73 75二、数学理论实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离情况方差与标准差就是刻画数据的离散程度的统计量一般地，设一组样本数据 x1， x2， xn，其平均数为 ，则称x niixs122)(为这个样本的方差因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差开方后的值称为这组数据的标准差，即 niixs12)(三、数学应用例 6在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶图 11 是其中的甲、乙段台阶路的示意图你认为哪段台阶路走
12、起来更舒服？为什么？例 7： 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差7172737475767778790 5 10 15 20 25707274767880820 5 10 15 20 25甲厂乙厂解 各组中值分别为 165，195，225，255，285，315，345，375，由此算得平均数约为1651 19511 22518 25520 28525 31516 3457 37522679268(天)将各组中值对于此平均数求方差得1(165268) 211(195268) 218(225268) 2110020(255268) 225(285268) 216(315268) 27(345268) 22 (375268) 2212860，462128 60答估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天，标准差约为 46 天补充说明： kan b 的平均数和方差已知 a1， a2， an的平均数是 3，方差是 2，则 ka1 b， ka2 b， kan b 的平均数是3k b； a1 b， a2 b， an b 的方差是 2； ka1 b， ka2 b， kan b 的方差是 2k2三、回顾小结1算术平均数与加权平均数；2方差和标准差四、作业略
