1、回归直线方程的推导设 x 与 y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的 n 个点的坐标分别是： 123(,),(,),()nxyx ，下面给出回归方程的推导。设所求的回归方程为 ba，其中 b是待确定的参数，那么：iiyx， （ 1,23,in ） ，样本中各个点的偏差是 ()iii， （ ,i ）显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分， ，因此他们的和不能代表 n 个点与回归直线在整体上的接近程度，而是采用 n 个偏差的平方和 Q来表示 n 个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度。即 2211()()ni iii iQyybxa 222
2、23()()nbxa ybxa求出当 取最小值时的 ,b的值，就求出了回归方程。（一） 先证明两个在变形中用到的公式：公式（1） 2211()nniiixx 其中 12nxx因为 222211()()()()ni ni 222nnxxx 2221)nxxx 221()n 21ni所以 2211()iii公式（） 11()niiiixyxy因为 121()()()()nii ni xyxy 212(n nxyxyyx 12121()()ni nnxyxyyx 12121 nnni y 1nixyxy 1nixy所以 11()nniiiixxy（二）推导：将 Q的表达式的各项先展开，再合并、变形2
3、2221 3()()()()nQybxaybxaybxaybxa21221 ()()()nn -展开 2 2211111nnnniiiiiybxyabxa-以 a，b 为同类项，合并 2 2 211111()nniinnniiiyxabbxy-以 a，b 的次数为标准整理 22 2111()nnniiinyxxy-将数据转化为平均数 ,xy2222111()()nnniiiabby-配方法2222111() nnniiinyxnyxxb-展开2 22111()()()()nni i iabbyy-整理22 2111()()()()nnni iiii i inyxxx-用公式（一） 、（二）变形
4、22 2121 1()()()()niin nii ii iiixynaybxxby -配方222 2 2111 1()()()() ()nnii iin ni ii ii ii ii ixyxynaybxb y 在上式中，共有四项，后两项与 a，b 无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得 Q区的最小值，当且仅当前两项的值都为 0。所以12()niiiiiaybxy或 12niiyxb-用公式（一）、 （二）变形得（三）总结规律：上述推倒过程是围绕着待定参数 a，b 进行的，只含有 ,ixy的部分是常数或系数，用到的方法有（1）配方法，有两次配方，分别是 a 的二次三项式和 b 的二次三项式；（2）变形时，用到公式（一） 、 （二）和整体思想；（3）用平方的非负性求最小值。(4)实际计算时，通常是分步计算：先求出 ,xy，再分别计算 1()niiixy， 21()niix或1nixy， 21nix的值，最后就可以计算出 a，b 的值。小练习：(1)验证当样本数据只有两个点时的回归方程；(2)当样本数据有三个点，是（ 1,xy） ， （ 2,） ， （ 3,xy）时，试推导回归方程。
