1、第 5 课时 圆的方程1 圆心为 C(a、b) ，半径为 r 的圆的标准方程为_2圆的一般方程 x2y 2Dx EyF 0(其中 D2E 24F0)，圆心为 ，半径r 3二元二次方程 Ax2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的方程的充要条件是 4圆 C：(xa) 2(yb) 2r 2 的参数方程为_x 2y 2r 2 的参数方程为_5过两圆的公共点的圆系方程：设C 1：x 2y 2D 1xE 1yF 10，C 2：x 2y 2D 2xE 2yF 20，则经过两圆公共点的圆系方程为 例 1. 根据下列条件，求圆的方程(1) 经过 A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线 3x10y 90
2、上(2) 经过 P(2 ，4) ，Q(3，1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长为 6解：(1)AB 的中垂线方程为 3x2y150由 09135yx 解得 37yx圆心为 C(7，3)，半径 r 65故所求圆的方程为(x7) 2(y3) 265(2)设圆的一般方程为 x2y 2Dx EyF0将 P、Q 两点坐标代入得FED10342令 y0 得 x2DxF 0由弦长|x 1x 2| 6 得 D24F36 解可得 D2，E 4，F 8 或 D6，E 8，F0故所求圆的方程为 x2y 22x4y80 或 x2y 26x8y0变式训练 1：求过点 A（2， 3） ，B（2，5） ，且圆心在直线 x2
3、y3=0 上的圆的方程由 A（2，3） ，B（2，5） ，得直线 AB 的斜率为 kAB= = , 5 ( 3) 2 2 12典型例题基础过关线段 AB 的中点为（0，4） ，线段 AB 的中垂线方程为 y4=2x,即 y2x 4=0,解方程组 203xy得 12xy圆心为（1，2） ，根据两点间的距离公式，得半径 r= =(2+1)2 ( 3 2)2 10所求圆的方程为（x1) 2(y2) 2=10例 2. 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，且 OPOQ （O 为坐标原点） ，求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将 x=3-2y,代入方程 x
4、2+y2+x-6y+m=0,得 5y2-20y+12+m=0.设 P（x 1,y1）,Q(x 2,y2),则 y1、y 2 满足条件：y1+y2=4,y1y2= .5mOPOQ,x 1x2+y1y2=0.而 x1=3-2y1,x2=3-2y2.x 1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时 0,圆心坐标为 31,半径 r= 25.方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M，O 1MPQ， 21MOk.O 1M 的方程为:y-3=2 x,即：y=2x+4.由方程组 .0324yx解得 M 的坐标为（-1，2）.则以 PQ 为直径的圆可设为（x+1） 2+（y-2） 2=r2.OPOQ，
5、点 O 在以 PQ 为直径的圆上.（0+1） 2+（0-2） 2=r2，即 r2=5,MQ2=r2.在 Rt O1MQ 中，O 1Q2=O1M2+MQ2. 2(3-2)2+5= 4)6(mm=3.半径为 5,圆心为 3,2.方法三 设过 P、Q 的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.由 OPOQ 知，点 O（0，0 ）在圆上.m-3 =0，即 m=3 .圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0即 x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.圆心 M )3(1，又圆在 PQ 上.- 2+2（3- ）-3=0， =1，m=3.圆心为 3,21，半径
6、为 25.变式训练 2：已知圆 C：（x-1） 2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR ).（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程 .（1）证明 直线 l 可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论 m 取什么实数，它恒过两直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点.两方程联立，解得交点为（3，1） ，又有（3-1） 2+（1-2） 2=525,点（3，1）在圆内部，不论 m 为何实数，直线 l 与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线 l 过定
7、点 M（3，1）且与过此点的圆 C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2 22CMr= .54213（52此时，k t=- CMk1,从而 kt=- 31=2.l 的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y=5.例 3. 知点 P（x，y）是圆(x+2) 2+y2=1 上任意一点.（1）求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值； （2）求 x-2y 的最大值和最小值； （3）求 12xy的最大值和最小值.解 （1）圆心 C（-2，0）到直线 3x+4y+12=0 的距离为d= 56432)(2.P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离
8、的最大值为 d+r= 56+1= 1，最小值为 d-r= 56-1= 1.（2）设 t=x-2y, 则直线 x-2y-t=0 与圆（x+2） 2+y2=1 有公共点. 21t1.- 5-2t -2，t max= -2，t min=-2- .（3）设 k= 12xy，则直线 kx-y-k+2=0 与圆（x+2） 2+y2=1 有公共点， 12k1. 43k ,k max= 3，k min= .变式训练 3：已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.（1）求 y-x 的最大值和最小值； （2）求 x2+y2 的最大值和最小值.解 （1）y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截
9、距，当直线 y=x+b 与圆相切时，纵截距 b取得最大值或最小值，此时 ,320b，解得 b=-2 6.所以 y-x 的最大值为-2+ 6，最小值为 -2- 6.（2）x 2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 22（0=2，所以 x2+y2 的最大值是（2+ 3） 2=7+4 3，x2+y2的最小值是（2- ） 2=7-4 .例 4. 设圆满足：截 y 轴所得的弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件的所有圆中，求圆心到直线 l：x2y=0 的距离最小的圆的方程。解法一设圆的圆
10、心为 P（a,b),半径为 r，则点 P 到 x 轴 y 轴的距离分别为 b、a 。由题设条件知圆 P 截 x 轴所得的劣弧所对的圆心角为 90，圆 P 截 x 轴所得的弦长为 r，2故 r2=2b2又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2，所以有 r2=a21,从而得 2b2=a21点 P 到直线 x2y=0 的距离为 d= 25ab,5d 2=(a2b) 2=a24b 24ab= 2a22b 24ab1=2(a b) 211当且仅当 a=b 时取等号，此时，5d 2=1, d 取得最小值由 a=b 及 2b2=a21 得 1ab或 ，进而得 r2=2所求圆的方程为（x1) 2(y1) 2=2
11、或（x1) 2(y1) 2=2解法二同解法一，得 d= 5a，所以 a2b= d5a2=4b24 bd5d 2,将 a2=2b21 代入整理得 2b24 bd 5d21=0 （）5 5把（）看成关于 b 的二次方程，由于方程有实数根，故0 即8（5d 21)0, 5d21 可见 5d2 有最小值 1，从而 d 有最小值 ，将其代入（）式得2b24b2=0, b= 1, r2=2b2=2, a2=2b21=1, a= 1由a2b=1 知 a、b 同号故所求圆的方程为（x1) 2 (y1) 2=2 或（x1) 2(y 1)2=2变式训练 4：如图，图 O1 和圆 O2 的半径都等于 1，O 1O2
12、4，过动点 P 分别作圆 O1 和圆O2 的切线 PM、PN(M、N 为切点)，使得 PM PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程解：以 O1、O 2 的中点为原点，O 1O2 所在的直 线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O1(2, 0)、O 2(2, 0)如图：由 PM PN 得 PM22PN 2 PO 1212(PO 221) ，设 P(x，y) (x2) 2y 212(x2) 2y 21即(x6) 2y 233 为所求点 P 的轨迹方程1本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程2求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；O1 O2NMPO1 O2NMPO xy2 2小结归纳若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程3求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算4运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便5点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.
