1、高三数学全程复习（一轮）课时 10 函数的图象【考点指津】1掌握描绘函数图象的两种基本方法（1）描点法：列表描点连线成图运用描点法作图前，必须对图象的特征（包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势）做到胸中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处（2）图象变换法：包括平移、对称、伸缩、旋转2掌握知识之间的联系，能用数形结合、分类讨论及转化变换等数学思想与数学方法综合解决数学问题，不断提高观察、分析、归纳、概括和综合分析能力【知识在线】1 函数 的图象是 （ ）2log(1)yx2已知函数y = f(|x|)的图象如左图所示，则函数 y = f(x)的图象
2、不可能是 （ ）3函数 y = f(x)与函数 y = f(-x)的图象 （ ）A关于y 轴对称 B关于 x 轴对称C关于原点对称 D关于直线 y=x 对称4函数 y = 的图象关于点 对称213xO xy函数 y = f(x ) 的图象O xyO xyO xyO xyA B C Dxy1O xy-1 O x xy1Oy1OA B C D5把函数 y=22x+3 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） ，再向左平移 2个单位，所得图象的函数解析式是 【平台】例 1 作出下列各函数的图象： （1）y=10 |lgx|；（2）y=x -|x-1|；（3）y= | x2-4x+3|分
3、析 以上图象用列表描点法作图有困难，为此应先对函数式进行变形，再利用熟悉的函数图形作图解 （1）因|lgx| = ，lgx， x 1-lgx， 0 x 1)于是，当 x1 时，10 |lgx| =10lgx = x；当 0x1 时，10 |lgx| = 10-lgx = 1x故 y=10|lgx| = x， x 11x， 0 x 1)根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象，如图 1 所示（2）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数 y= ，可见其图象是,2x由两条射线组成，图象如图 2（3）解法一 去绝对值，得 y= ，即31,432xx或y= ，其图象由两条抛物线的部分图形组成，图象
4、如图31,)2(xx或Oxy11图 1O xy11图 2Oxy图 31 2 33解法二 先作函数 y = x2-4x+3 的图象，然后将其在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴的上方，原 x 轴上方的图形及其翻折上来的图形便是所要求作的函数的图象点评 作不熟悉的函数图象，可以先将函数式变形，化为基本初等函数的图象再作图但要注意变形的等价性，不要扩大或缩小未知数的取值范围例 2 设有三个函数的图象分别是 C1、C 2、C 3，其中函数 y=f(x)的图象是 C1，C 2 与 C1关于原点对称，C 3 与 C2 关于直线 y=x 对称（1）与图象 C3 对应的函数是（ ） ；Ay= f 1 (-x)
5、By= - f 1 (x) Cy = - f 1 (-x) Dy = - f (-x)（2）图象 C3 与图象 C1 关于直线（ ）对称Ax 轴 By 轴 C直线 y=x D直线 y= -x分析 （1）因 C2 与 C1 关于原点对称，故 C2 对应的函数是 y= -f(-x)又 C3 与 C2 关于直线 y=x 对称，于是， C3 对应的函数是 y= -f(-x)的反函数由 y= -f(-x)得-x = f 1 (-y)，即 x= - f -1 (-y)，交换 x、y 得： y= - f 1 (-x)，即与 C3 对应的函数是 y= - f1 (-x)，答案选 C（2）可用排除法：与函数 y
6、=f(x)图象关于 x 轴、y 轴、直线 y=x 对称的函数依次是 y= -f(x) ，y= f( -x)， y= f -1 (x)，排除 A、B、C ，选 D点评 本题涉及函数图象的对称变换，可联系点的对称规律来理解和记忆例如，点(x，y)关于直线 y= -x 对称的点(-y，-x)，因此，只需用 y、-x 同时换 y=f(x)中的 x、y，得到-x= f ( -y)，即 -y= f -1 (-x)，也就是 y= -f -1 (-x)故函数 y= -f -1 (-x)与函数 y=f(x)图象关于直线 y= -x 对称例 3 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止如果注水量 V 与水深 h 的函数
7、关系的图象如图 4 的左图所示，那么水瓶的形状是 （ B ）解 A B C D图 4VH hO解法一 根据题意，V=f(h)的图象是一段曲线，V 随 h 的增加而增加，而且开始阶段 V 的增加较快，以后渐渐变慢，故水瓶的形状必是下口大上口小，于是答案选 B解法二 D 是圆柱形，注水量 V 与水深 h 的关系为正比例关系，其图象应是一条直线段，不合；C 是中间细两头粗，注水量 V 随水深 h 的增加而增加，开始阶段增加较快，然后变慢，当注水量达到一半后，增加又逐渐变快，故图象也不合；对于 A 图，注水量应是随着 h 的增加 V 增加得越来越快，图象也不合排除 A、C、D，答案选 B解法三 设注水
8、量 V 与水深 h 的关系为：V=f (h)，则由题图知， ，即)2(Hf)(1f当用水达到一半时，水上升的高度还未达到一半，也就是开始阶段用水较多，从而有水瓶的形状为下口大上口小，答案选 B点评 本题是一道应用题，不涉及具体的计算和画图，而突出考查分析和观察能力，属创新题型题中只是给出了曲线的大概特征，因此，我们在解题时，应用其图，察其形，舍其次，抓其本，全方位分析思考和判断，一举得出问题的解例 4 设方程 x+2x =4 的根为 m，方程 x+log2x=4 的根为 n，求 m+n 的值分析 求出 m 与 n 的准确值，不可能，怎么办？画个图形，利用数形结合的思想进行求解注意到函数 y=2
9、x 与函数 y= log2x 互为反函数，故可在同一坐标系内作出y=2x、y=log 2x 及 y= 4-x 的图象，研究它们交点的横坐标的关系，并求得其值解 在同一直角坐标系内作 y=2x、y=log 2x 及 y=4-x 的图象，如图 5 所示，则m 为曲线 y=2x 与直线 y=4-x 交点 P 的横坐标，n 为曲线 y=log2x 与直线 y=4-x 交点 Q 的横坐标因为函数 y=2x 与函数 y=log2x 互为反函数，故它们的图象关于直线 y=x 成轴对称，于是点 P 与点 Q 关于点A（2，2）对称，从而m+n=22=4点评 函数图象在研究方程解（大小的估算、根的个数以及根的分
10、布等）中的作用是较大的利用图象研究方程解的情况，就是将方程根的情况转化为图象交点的横坐标间的关系，这样使得抽象的数的问题变成了直观的形的判xyo m n2 A(2，2)QPy=4-xy=2xy=log2x44图 5y=x断变题 1 方程 log2(x+4) = 3x 的实数解的个数是 （ B ）A3 B2 C1 D0变题 2 方程 log3(x+3)=3x 的根的情况是 （ A ）A一个正根，一个负根 B两个正根C两个负根 D仅有一个根变题 3 设 f(x)表示 2x+2 与-2x 2+4x+2 中的最小者，求函数 f(x)的最大值提示： ，最大值为 230,42或【知能集成】1掌握图象的三种
11、变换（1）平移变换函数 y = f(x+a)（a0）的图象可以由 y=f(x)的图象向左（a0）或向右（a0）平移|a|个单位而得到；函数 y = f(x)+b（b0）的图象可以由 y=f(x)的图象向上（b0）或向下（b0）平移|b|个单位而得到（2）伸缩变换函数 y = Af(x)（A0，且 A1）的图象可由 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A 1 ）或缩短（0A1）到原来的 A 倍，横坐标不变而得到；函数 y=f(x)（ 0，且 1）的图象可由 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（1）或伸长（0 1）到原来的 倍，纵坐标不变而得到（3）对称变换函数 y= - f(x)的图象可通过
12、作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到；函数 y= f(- x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到；函数 y= - f(-x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到；函数 y=f1 (x)的图象可通过作函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称的图形而得到；函数 y= |f(x)|的图象可通过作函数 y=f(x)的图象，然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分保持不变而得到；函数 y= f(|x|)的图象是：函数 y= f(x)在 y 轴右侧的部分及其该部分关于 y 轴对称的部分2掌握基
13、本初等函数的图象基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数【训练反馈】1函数 y= 的图象是 （ ）1|x|+12当a0 时，函数 f(x)=ax+b 和 g(x)=bax 的图象只可能是 （ ）3已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则实数c 的取值范围是 （ ）A （0，+） B （0，1）C （1，2） D （-，0）4任取 x1，x 2（a，b） ，且 x1x 2，若 )(21)(21xffxf，则称 f(x)是(a，b)上的凸函数在下列图像中，是凸函数图像的是 （ ）5图象通过平移或翻1xyO1 11 xyOxyOxyOA B C Da
14、 bxyO a bxyO a bxyO a bxyOA B C DyO-11x图 ayO-11 x1-1图 b折后不能与函数 y= 的图象重合的函数是 （ ）x21logAy = 2 x By = 2log4x Cy= D24xlog26已知函数 f(x)及函数 g(x)的图象分别如图 a、b 所示， 则函数y=f(x)g(x)的图象可以是（ ） 7已知函数 y=f(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点(m，0)， （n，0） ，( p，0)试分别就下列情况求 m+n+p 的值（1）函数 f(x)为奇函数；（2）函数 f(x)为偶函数；（3）函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称8已知函数
15、 的图象经过点（1，3） ，其反函数的图象经过点（2，0） ，试问a函数 y=f 1(x)的图象可由函数 y=4x 的图象经过怎样的变换而得？9已知函数 y=f(x)满足 f(x+a)=f(a-x)，定义域为 R（1）求证：y=f(x )的图象关于直线 x = a 对称；（2）当 a=2，且方程 f(x)=0 恰有四个不同实数根，求这些实根之和；（3）若函数 y=log2|mx-1|的图象的对称轴是 x=2，求非零实数 m 的值参考答案：【知识在线】1C 2B 3A 4 （-2， 3） 5y=2 +3)(3x【训练反馈】1A 2A 3A 4D 5C 6B 7 （1）0；（2）0；（3）9 8 f(x)=2x +1，f 1(x) = log2(x-1)y =4xy=log 4xy=log 2x（=2log 4x）y=log 2(x-1) 也可以:y=4x=22x y=2x y=log2x y=log2(x1) 9 （1）只须证明函数图象上的任一点（x 1，y 1）关于直线 x=a 的对称点也在该函数图象上，反之亦成立；（2）yO-11 xyO-1 1xyO-1 1xyO-1 1xA B C D222=8；（3）2m-1=0 21高#考 试;题-库
