1、对数函数中与二次函数有关的问题一、对数函数与二次函数的有关复合函数的单调性问题例 1求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明 奎 屯王 新 敞新 疆)32(log1xy解：定义域 102 x或单调减区间是 设 则 ),3(221),3(,xx且log121y )3log21y=)(2x)(2x)(x 31201012 又底数 )(x)3(2x 即 012y1y 在 上是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆),3(同理可证： 在 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆y),例 2.已知 y= (2- )在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogx解：a0 且 a1当 a1 时，函数 t=2-
2、 0 是减函数x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是增函数，logx aloga1由 x 0，1时，2- 2-a0,得 a2,xa1a2当 00 是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆x由 y= (2- )在0，1上 x 的减函数，知 y= t 是减函数，alogx alog01 时，若 在区间 上是增函数，2(log)(l1)aaxg2,为增函数，令 ，t , ，要求对称轴layxlogatx1l2aloga，矛盾；当 00 且 a1), 当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点Q(x2a ,y) 是函数 y=g(x)图象上的点(1)写出函数 y=g(x)的
3、解析式；(2)若当 xa+2,a+3 时，恒有 |f(x)g( x)|1,试确定 a 的取值范围解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)设点 Q 的坐标为(x ,y),则 x=x2a,y=y 即 x=x+2a,y=y点 P(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图象上，y=log a(x+2 a3a), 即 y=log a ,g(x)=log a211(2)由题意得 x3a=(a+2)3a=2a+20; = 0,)3(又 a0 且 a1,0a1,|f(x)g( x)|=|loga(x3a)log a |x1=|loga(x24ax+3a 2)| 1
4、,1log a(x24ax +3a2)1,0a1,a+22a f(x )=x24ax+3a 2 在a+2,a+3 上为减函数， (x)=loga(x24ax +3a2)在a+2,a+3 上为减函数，从而 (x) max= (a+2)=loga(44a), (x) min= (a+3)=loga(96a),于是所求问题转化为求不等式组 的解1)(log690a由 loga(96a) 1 解得 0 a ,257由 loga(44a) 1 解得 0a ,4所求 a 的取值范围是 0a 12579四、对数函数与二次函数的有关复合函数的条件最值问题例 10 设不等式 2(log x)2+9(log x)
5、+90 的解集为 M，求当 xM 时函数 f(x)=(log21)(log2 )的最大、最小值x8解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 2( x)2+9( x)+901l1log(2 x+3)( x+3)0 3 x 21log21l 21log3即 ( )3 x ( ) 21l21l21log( ) x( )3 ,2 x83即 M=x|x 2 ,8又 f(x)=(log2x1)(log 2x3)=log 22x4log 2x+3=(log2x2) 21 2 x8, log 2x3当 log2x=2,即 x=4 时 ymin= 1;当 log2x=3,即 x=8 时，y max=0 五对数函数与二次函数的有关复合函数型二次方程的根的分布问题例 11若 有两个小于 1 的正根 , 且 ，求2lg4alg23实数 的取值范围。 分析 : 既然是对数函数 , 我们先不管后面的条件 , 该怎么做就怎么做 , 即先化简函数方程。 则有 由于形式有点ll2gxx22lg3ll40xa复杂 , 我们可以作个代换 , 设 则有 在此 , 要注意 , ltgtt由于变量的代换 , 则其定义域也会随之改变 , 有 : ，21212120lg30ll443attt或即 lga0ax1, 则 t0 在此题中 , 注意换元后 , 其变量的定义域的变化。
