1、一元二次方程的应用（二） 解题指导例 1.如图 3-9-1 所示,某小区规划在一个长为 40 米,宽为 26 米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与 平行,另一条与 垂直,其ABCDABAB余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144 米 2,求甬路的宽度?分析:为了使问题简化,不妨把种小块矩形草坪平移后拼成一大块矩形草整体思考,问题便显得轻而易举.解:可设甬路宽为 米,依题意,得x,解得 (不合题意,舍去).614)26(40(4,21x答:甬路的宽度为 2 米.例 2.如图 3-9-2 所示要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为
2、 m,另三边用竹篱a笆围成,已知篱笆总长为 35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度 m 对题目的解起着怎样的作用?a分析:从几何图形建立等量关系式.从所列得的方程的解、分类讨论 的不同取值所产生的影响.a解：（1）设鸡场的宽为 m，则长为 m.依题意列方程为 x)235(x.10)235(整理，得 .x解方程，得 .7,102x所以当 时， .35答：当鸡场的宽为 10m 时，长为 15m；当鸡场宽为 7.5m 时，长为 20m.（2）由（1）解得结果可知：题中墙长 m 对题目的解起严格的限制作用.当 时，a15a问题无解；当 时，问题只有一解，即可建宽为 10m，长为 1
3、5m 的一种鸡场；当20a时，问题有两解.0a点评：应注意讨论 对题目的解起的关键作用.例 3.已知：如图 3-9-3 所示，在 中，ABC.点 从点 开始沿 边向点 以c7m,5,9BCABPB1cm/s 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 2cm/s 的速度移动.Q（1）如果 分别从 同时出发，那么几秒后， 的面积P, PQ等于 4cm2？（2）如果 分别从 同时出发，那么几秒后， 的长度等于,BA,5cm？（3）在（1）中， 的面积能否等于 7cm2?说明理由.PQB分析：设出未知数后，关键是用含未知数的代数式表示与问题有关的线段、面积等.解 （1）设 s 后， 的面积等于 4cm
4、2，此时， ，x cm)5(,cxBPxA.cm2BQ由 得,4P.2)5(1x整理，得 .02解方程，得 .4,12x当 时， ,说明此时点 越过点 ，不合要求.4x78QC答：1s 后， 的面积等于 4cm2.PB（2）仿（1） ，由 得 .25225)(x整理，得 0x解方程，得 （不合，舍去） ， .12x答：2s 后， 的长度等于 5cm.PQ（3）仿（1） ，得 7)5(2x整理，得 0x容易判断此方程无解.来源:xYzkW.Com答： 的面积不可能等于 7cm2.PQB点评：较为复杂的一元二次方程在几何（图形）上的应用，往往要借用一些几何知识，如：面积公式；勾股定理；其它乘积关系
5、的几何定理等等.观察图形，寻找等量关系，列出方程是解这类问题的关键.自我测试一、基础验收题1.直角三角形的面积是 30，两直角边的和是 17，则斜边长为（ ）A.17 B.26 C.30 D.132.在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图 3-9-4 所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 cm,那么 满足的方程是（ ）xA. B.01432x 03562xC. C.3.把一个正方形的一边增加 2cm，另一边增加 1cm，所得的长方形面积比正方形面积增加14cm2,那么原来正方形的边长应是（ ）来源:xYzKw.Co
6、mA.3cm B.5cm C.4cm D.6cm4.如图 3-9-5，从一块长 80 厘米，宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.5.小娟家有一块矩形花园，他爸爸想把它改建成正方形如图 3-9-6，这样就必须将长减少 3m，宽增加 2m，同时面积减少 5m2.问改建后的花园面积为多少 m2.6.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地，准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路，正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图 3-8-7，已知原长方形的长为30 米，宽 20 米，要使每个小长方形面积不少于 12
7、6m2.则每条小路宽至少为多少米?7.等腰梯形上、下底及高之比为 142，它的腰与高之差为 1cm，求梯形的面积.来源:学优中考网8.在一块长是宽的 2 倍的长方形的中央开辟一个面积最大的圆形花园，这块长方形土地的剩余面积是 180m2，求这块长方形土地的长和宽？（结果可保留 ）9.如图 3-9-8，梯形 中， ， 是高，若ABCDCDAB,/E.求 的长.6AE二、综合能力测试题来源:学优中考网1.如图 3-9-9，长方形铝皮的长 40cm,宽 30cm,在四角截去相同的四个小正方形后，折起来做成一个没有盖子的盒子.已知盒子的底面面积是原长方形面积的一半，求盒子的高. 2.如图 3-9-10
8、，等腰 Rt 中， ，动点 从点 出发，ABCcm 8PA沿 向点 移动.通过点 引平行于 、 的直线与 、 分别交ABPACBC于点 、 ，问： 等于多少厘米时，平行四边形 的面积等于RQQR16cm2？3.如图 3-9-11，一张矩形报纸 的长 ，宽 . 、BDc ac bE分别是 、 的中点，将这张报纸沿着直线 对折后，矩形FABCEF的长与宽的比等于矩形 的长与宽之比.求 : 的值.EDA4.如图 3-9-12，一块直角三角形的草坪要扩大成以 为边的正方形草坪，已AB知 长为 4m，扩大的面积为 15m2，则原来草坪的面积是多少？BC5在顶角为 36，腰长为 10cm 的等腰三角形中，一个底角的平分线把一腰分成两段，这两段的长各是多少？（精确到 0.01cm）6.如图 3-9-13，所示一个农户用 24m 长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总面积为 36m2,求每个鸡舍的长和宽.来源:xYzKw.Com
