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《三角恒等变换》教案3(新人教a版必修4).doc

1、第三章 三角恒等变换一、课标要求:本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式,以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用;2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;3. 运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化和差、和差化

2、积公式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性,体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1. 本章的内容分为两节:“两角和与差的正弦、余弦和正切公式” , “简单的三角恒等变换” ,在学习本章之前我们学习了向量的相关知识,因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础,运用向量的知识来予以证明,降低了难度,使学生容易接受;2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式;3. 本章在内容的安排上有明暗两条线,明线是建立公式,学会变换,暗线是发展推理和运算的能力,因此在本章全部内容的安排上,特别注意恰

3、时恰点的提出问题,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题,强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识;4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念,严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度,尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据,而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约 8 课时,具体分配如下:3.1 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约 3 课时3.2 简单的恒等变换 约 3 课时复习 约 2 课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求:本节的中心内容是建

4、立相关的十一个公式,通过探索证明和初步应用,体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分,即引入,两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用,和差公式的探索、证明和初步应用,倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1. 重点:引导学生通过独立探索和讨论交流,导出两角和差的三角函数的十一个公式,并了解它们的内在联系,为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础;2. 难点:两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础.二、教学重、难

5、点1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式;2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等.三、学法与教学用具1. 学法:启发式教学2. 教学用具:多媒体四、教学设想:(一)导入:我们在初中时就知道 , ,由此我们能否得到2cos45 3cos02大家可以猜想,是不是等于 呢?cos15430? 45cos0根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的!下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 s(二)探讨过程:在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角 的终边与单位圆的交点为 ,1P等于

6、角 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 的余弦线来表示,大家思考:怎样cos构造角 和角 ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.)展示多媒体动画课件,通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索 与cos、 、 、 之间的关系,由此得到cossini,认识两角差余弦公式的结构.()cosn思考:我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题,两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明?提示:1、结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的?2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果?展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处,体会向量方法的作用与便利之处.思考: ,

7、,再利用两角差的余弦公式得出cos?coscosincosins(三)例题讲解例 1、利用和、差角余弦公式求 、 的值.cos751解:分析:把 、 构造成两个特殊角的和、差.75123162cos430cos4530sin450415i 点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:,要学会灵活运用.cos6045例 2、已知 , 是第三象限角,求 的in5,cos,213 cos值.解:因为 , 由此得,24sin52243cossin15又因为 是第三象限角,所以5cos,132251sin1cos13所以 354123()sin 65点评:注意角 、 的象限,也就

8、是符号问题.(四)小结:本节我们学习了两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程,熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 、 的象限,也就是符号问题,学会灵活运用.(五)作业: 1502.PT(胡仕伟)3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法:研讨式教学四、教学设想:(一)复习

9、式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:; coscossincoscossin这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢?提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.sincoscoscossinsi2222sincosiniisicosinsicosin让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)sinsinsitancocon通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 、 的形式呢?(分式分子、分tat母同时除以 ,得到 cosnt

10、an1t注意: ,()22kkkz以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢? tantantantan1t1t注意: ,()22kkkz(二)例题讲解例 1、已知 是第四象限角,求 的值.3sin,5sin,cos,tan44解:因为 是第四象限角,得 ,si, 223cos1i15,3in5ta4cos于是有 24372sinsincosin4510 cosssi42 两结果一样,我们能否用第一章知识证明?3tan14tan 741t例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1) 、 ;(2) 、 ;(3) 、sin7co42s7in4cos07sin207ta5解

11、:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.(1) 、 ;1sin72co4s72in4si724sin302(2) 、 ;00co0co9(3) 、 1tan5t4tan15t415tan603例 3、化简 2cos6ix解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?132cos6in2cosin2sin30cos30in2si30xxxxx 思考: 是怎么得到的? ,我们是构造一个叫使它的正、余弦6分别等于 和 的.123小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题

12、过程中要善于发现规律,学会灵活运用.作业:1、 已知 求 的值 ( )21tan,tan,54tan4322、 已知 ,求3350,cos,si4513的值sin(胡仕伟)3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.二、教学重、难点教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式;教学难点:二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法:研讨式教学四、教学设想:(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,;sinsicosin;coitant

13、an1t我们由此能否得到 的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中si2,co,tan2看成 即可) ,(二)公式推导:;sin2isincosin2sico;2coiin 思考:把上述关于 的式子能否变成只含有 或 形式的式子呢?cos2sico;2 22sin1isin122cosc(co)s2tantantan2t1t1注意: ,2kkz(三)例题讲解例 1、已知 求 的值5sin,134sin4,co,tan4解:由 得 ,42又因为 5sin,132251cos1sin13于是 ;50i42i369; 221cos1sin1 120sin469taco例、已知 求 的值ta,3ta解:

14、 ,由此得2n1tt2tn6ta10解得 或 ta5a5(四)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.(五)作业: 15034.PT(胡仕伟)3.2 简单的三角恒等变换(3 个课时)一、课标要求:本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高

15、学生的推理能力三、教学目标通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力四、教学重点与难点教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力五、学法与教学用具学法:讲授式教学六、

16、教学设想:学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台下面我们以习题课的形式讲解本节内容例 1、试以 表示 cos222in,cos,tan解:我们可以通过二倍角 和 来做此题12cosin因为 ,可以得到 ;2cos1in2sin因为 ,可以得到 1cosc又因为 22sin1ostacc思考:代数式变换与三角变换有什么不同?代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换

17、常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点例、求证:() 、 ;1sincosinsi2() 、 iico2证明:()因为 和 是我们所学习过的知识,因此我们从等式右sinsin边着手; sinsicosisisincosin两式相加得 ;2iini即 ;1sincosisi()由()得 ;设 ,n2sinco,那么 ,2把 的值代入式中得 , sin2sincos2思考:在例证明中用到哪些数学思想?例 证明中用到换元思想, ()式是积化和差的形式, ()式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例、求函数 的周期,最大值和最小值sin3cosyx解: 这种形式我们在前面见过,i,13sin3cos2incos2in3yxxx所以,所求的周期 ,最大值为,最小值为 T点评:例是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式中的作用sinyAx小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用作业:1578P14T

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