1、函数与方程( 上)重点难点(1)同学们一定要理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题.(2)同学们应该主动进一步培养自己综合解题的能力，在学习过程中渗透数形结合的思想学法指津 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.同样，我们在学习本部分知识的时候，也不要一味的盯着课本，应该将课本知识与现实生活联系起来，不断地将学过的数学知识应用到生活当中.经典一例例 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与
2、水面的距离为 2.4m.这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少? 是否会超过 1m?解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系.这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：yax 2 (a0) (1)因为 AB 与 y 轴相交于 C 点，所以 CB 0.8(m)，又AB2OC2.4m ，所以点 B 的坐标是(0.8，2.4).因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 2.4a0.8 2 所以：a .154因此，函数关系式是 y x2 (2)154因为 OF1.5m ，设
3、FDx 1m(x10)，则点 D 坐标为(x1，1.5).因为点 D 的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2) ，得1.5 x12 x12 x1154 25 105x1 不符合假设，舍去，所以 x1 .105 105ED2FD2x 12 3.1621.26(m)105 2510 25所以涵洞 ED 是 m，会超过 1m.2510函数与方程（下）重点难点通过函数的图象来求得方程的解.重点还是数形结合思想的运用.学法指津 （1）先复习巩固用函数 yax 2bxc 的图象求方程 ax2bxc0 的解的过程和方法.如：画出函数 y2x 23x2 的图象，求方程 2x23x20 的解.函数 y2x 23x
4、2 的图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1 和 x22，所以一元二次方12程的解是 x1 和 x22.12（2）体验函数 yx 2和 ybxc 的交点的横坐标是方程 x2bxc 的解的探索过程，掌握用函数 yx 2和 ybxc 图象交点求方程 ax2bxc 的解的方法.经典一例已知抛物线 y12x 28xk8 和直线 y2mx1 相交于点 P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当 x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点 P(3，4m)在直线 y2mx1 上，所以有 4m3m 1，解得 m1.所以 y1x1，P(3，4).因为点 P(3，4)在抛物线 y12
5、x 28xk8 上，所以有，41824k8，解得，k2，所以 y12x 28x10.(2)依题意，得 ，y x 1y 2x2 8x 10)解这个方程组，得 ， .x1 3y1 4) x2 1.5y2 2.5)所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5).实际问题（上）重点难点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数yax 2、yax 2bxc 的关系式.其中，已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是难点.学法指津（1）首先大家应该掌握待定系数法，由已知图象上一个点的坐标求二次函数 yax 2的关系式.（2）掌握用待定系数法，由已知图象上三个点的坐标求二
6、次函数的关系式.（3）认真体验二次函数的函数关系式的应用，提高大家应用数学知识的意识.经典一例例 如图所示，求二次函数的关系式.分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点 B 的坐标是(2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式.解：观察图象可知，A、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线 x3。因为对称轴是直线 x3，所以 B 点坐标为(2，0)。设所求二次函数为 yax 2bxc，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到 c4，又由于其图象过(8，0)
7、、(2，0)两点，可以得到 解这个方程组，得64a 8b 44a 2b 4) a 14b 32)所以，所求二次函数的关系式是 y x2 x4.14 32小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式 yax 2bxc 就是其中一种常见的形式.二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数 a、b、c ，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数.实际问题（下）重点难点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是这部分知识的重点，也是难点.学法指津（1）切实掌握用待定系数法求函数解析式的方法，在考试中会经常用到.（2）二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一
8、般式：yax 2bxc (a0)；(2)顶点式：ya(xh) 2k (a0)；(3)两根式：ya(xx 1)(xx 2) (a0).当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 yax 2bxc 形式.当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 ya(xh) 2k 形式.当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 ya(xx 1)(xx 2).经典一例已知二次函数当 x3 时，有最大值1，且当 x0 时，y3，求二次函数的关系式.解法 1：设所求二次函数关系式为 yax 2bxc，因为图象过点(0，3) ，所以 c3，又由于二次函数，当 x3 时，有最大值1，可以得到： ， b2a 312a b24a 1)解这个方程组，得： ，a 49b 83)所以，所求二次函数的关系式为 y x2 x3.49 83解法 2：所求二次函数关系式为 ya(xh) 2k，依题意，得 ya(x3) 21，因为二次函数图象过点(0，3)，所以有，3a(0 3)21，解得 a .49所以，所求二次函数的关系为 y44/9(x3) 21，即 y x2 x349 83小结：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大.高考试题库
