1、正弦函数、余弦函数的性质( 第一课时) 周期性教学目标一、知识与技能了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。二、过程与方法从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。三、情感、态度与价值观培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。教学重点周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性。教学难点周期函数的概念教学工具多媒体课件设计思路创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对
2、P 点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。在研究 P 点的圆周运动时，给出了 y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了 y=sinx 的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。在讲解例 2 时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。教学过程一、创设情境每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。二、学生活动（P 点的圆周运动）如图，点 P 自点 A 起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点 P 的运动轨
3、迹是：A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B 显然点 P 的运动是周期运动。设圆的半径为 2，每 4 分钟运动一周。设 P 到 A 的距离为 y，运动时间为 t，则 y 是 t的函数，记为 y=f(t). 则 f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= =0， （位置在 A 点）f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= =4， （位置在 C 点）一般地，点 P 运行 t 分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样的数学表达式：f(t+4)=f(t)想一想：f(t+8)、f(t+12) 与 f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。f(t+8)=f(t)
4、、f(t+12)=f(t) ，运行时间不等，但最终位置相同可以用描点法画出这个函数的图象（如图）它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) 内重复。我们将上面的函数 y=f(t)称为周期函数。三、建构数学一般地，对于函数 f（x），对定义域内的每一个 x 的值，每增加或减少一个不为零的定值 T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即 f(x+T)= f(x)。（一）、周期函数及周期的定义周期函数定义如下：一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x+T)= f(x)，那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函
5、数的周期。前面函数 y=f(t)的周期可以认为是 4、8、12、（二） 、最小正周期的概念.对于一个函数 f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.注意今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数 y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函数的周期思考：正弦函数 y=sinx 是周期函数吗？即能否找到非零常数 T，使 sin(T+x)= sinx 成立？sin(2+ x)=sinx，sin(4+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期 T=2（最小正值） 用几何画板展示周期函数 y=sinx 的图象
6、，使学生感知其特征。讨论：余弦函数 y=cosx 也是周期函数，并找出它们的周期。 周期分别是 2、四、数学运用例 1 若钟摆的高度 h（mm）与时间 t(s)之间的函数关系如图所示。（1） 求该函数的周期；（2） 求 t=10s 时钟摆的高度。分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；根据函数的周期性，f(10)=f(101.5)=f(1021.5)= =f(101.5k)( 其中 k 为整数)， 直到 101.5k=1 或 2.5 为止，即 f(10)=f(1)=20.解：(略 )例 2 求函数 f(x)=cos3x 的周期。解：设周期为 T. f(x)=cos3x=cos(3
7、x+2)，f(x+T)=cos3(x+T)由 f(x)= f(x+T)得，3x+2 =3(x+T) ，解得 T=2/3.函数 f(x)=cos3x 的周期 2/3.注意：运用了换元方法，u=3x；f( u)=cosu 的(最小正)周期是 2；即cosu=cos(u+2) ；由于 cos(3x+2) =cos3(x+T)对任一 x 的值都成立，所以3x+2 =3(x+T)；f(x)= cos3x 的周期与 f(u)=cosu 的周期是两个不同的概念。尝试练习(1)求 g(x)=2sin( )的周期。126x(2)证明函数 （其中 为常数，且 ）的周期(sin(fA,A0,A.2T结论:一般的，周
8、期函数 y=Asin(x+ )及 y=Acos(x+ )(其中 A， 为常数，且 A0，0)的周期 T= .2学生练习：课本 P27 页 练习 1、2、3、4五、回顾反思通过这节课的学习，你有哪些收获？1.周期函数、周期概念。一般地，对于函数 f（x） ，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。2.函数 y=sinx 和函数 y=cosx 是周期函数,且周期均为 2.3.函数 y=tanx 是周期函数,且周期均为 .4. 周期函数 y=Asin(x+)和 y=Acos( x+
9、) (其中 A， 为常数，且A0，0)的周期的求法。 六、课外作业：1、举例说明周期现象。.2.、课本 P40 页 习题 1.3 第 1 题3、设 m、p、q 为自然数，m 除以 5 所得的商是 p 且余数是 q(q5). 显然 q 是 m 的函数，记 q=f(m). (1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若不是，则说明理由。七、设计说明：1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数的概念。比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立 P 点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。2、通过对 P 点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。3、新课程的一个重要理念就是“用教材教，而不是教教材” 。在处理例 2 的过程中，由于课本的解法学生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根据周期函数的概念列出方程，解出周期 T,从而降低了难度。4、在教学过程中，我设计一些思考与练习，变由老师讲解为学生思考、探究，发展了学生的思维能力。
