1、1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性5 分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.函数 y=cos4x 的周期是( )A.2 B. C.D.42思路解析：函数 y=cos4x 的周期是 42答案：C2.函数 y=sin2x+1 的最小正周期为_.思路解析：因为 y=sin2x+1,利用 T= =,所以周期 T=.2答案：10 分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.函数 y=|sin |的最小正周期是( )2xAB C2 D4思路解析：y=sin 的最小正周期为 4，则 y=|sin |的最小正周期为 2.x21x答案：C2.下列函数中，周期为 ，图象关于直线 x= 对称的函数是
2、( )3Ay=2sin( + ) B.y=2sin( - )2x32xCy=sin(2x+ ) D.y=sin(2x- )66思路解析：sin(x+)的周期为 ，对称轴方程为 x+=k+ (kZ)，由周期为|22，排除 A、B.将 x= 代入 2x+ 得 ；将 x= 代入 2x- 得 ，故选 D36536答案：D3.求下列函数的最小正周期 T.（1）f(x)=3sinx;（2）f(x)=sin2x;（3）f(x)=2sin( x+ ).214解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2)=f(x+2),T=2.（2）f(x)=sin2x=sin(2x+2)=sin2(x+)=f(x+),函
3、数的最小正周期为 .（3）f(x)=2sin( x+ )=2sin( x+ +2)=2sin (x+4)+ =f(x+4),函数的最小214214正周期为 4.总结一般规律：y=Asin(x+),y=Acos(x+) 的最小正周期是 .|24.求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为 ；（2）y=|sinx|+|cosx|的周期为 .证明：（1）f(x+)=cos2(x+)+sin2(x+)=cos(2+2x)+sin(2 +2x)=cos2x+sin2x=f(x),y=cos2x+sin2x 的周期是 .（2）f(x+ )=|sin(x+ )|+|cos(x+ )|2=|cosx|+
4、|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),y=|sinx|+|cosx|的周期是 .志鸿教育乐园代词语法课上，约翰的思想开了小差。突然老师问道：“约翰，你能说出两个代词吗？”约翰站起来，摇摇头说：“谁？我！”30 分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.(2005 浙江)函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是( )6A.B. C.2 D.42思路解析：y=Asin(x+ ) 的最小正周期 T .|2答案：B2.(2005 江西)设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为( )A.周期函数，最小正周期为B.周期函数，最小正周期为3 32C.周期函数，最小正周期为
5、2 D.非周期函数思路解析：本题考查三角函数的周期,首先应将 f(x)化简,尽可能地化成形如 y=Asin(x+)(0),然后再判断.也可根据三角函数周期的定义进行检验 ,将 A、B、C 、D 中的周期都代入,验证后,可得答案 B,另外记住一些常用结论是必要的，例如 y=Asin(x+)(0)的最小正周期 T= ,y=Atan(x+)(0) 的最小正周期 T= .|2 |f(x)= (kZ ),kxk3232,0,sin因此 f(x)为周期函数，且最小正周期为 .选 B.32答案：B3.图 1-3-1 是周期为 2 的三角函数 y=f(x)的图象，那么 f(x)可以写成( )图 1-3-1A.
6、sin(1+x) B.sin(-1-x)C.sin(x-1) D.sin(1-x)思路解析：由图可以看出 f(1)=0,f(0)0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是 sin(1+x)，因为 sin(1+1)0；也不是 sin(-1-x)，因为 sin(-1-1)0；也不是 sin(x-1)，因为 sin(0-1)=sin(-1)=-sin10而 sin(1-x)同时满足 sin(1-1)=sin0=0 和 sin(1-0)=sin10答案：D4.已知函数 f（x）= +1，判断函数的最小正周期，并证明你的结论（用x22cossin反证法）.思路解析：周期函数的周期不止一个，一般
7、存在一个最小正周期，证明 T 是最小正周期时，往往用反证法比较容易.解：f（x）=|sinx|+|cosx|+1 的定义域为 R.f（x+ ）=|sin（x+ ）|+|cos （x+ ）|+1=f（x） ，T= .2222假设 f（x）的最小正周期为 T，且 0T ，则 f（x+T）=f（x） ，即|sin（x+T）|+|cos（x+T ）|=|sinx|+|cosx|对 xR 恒成立.x=0，得|sinT|+|cosT |=1.sinT+cosT=1 （sinT+cosT） 2=1 1+2sinTcosT=1.sinTcosT=0 sinT=0 或 cosT=0,与 T（0， ）矛盾 .2f
8、（x）的最小正周期为 T= .25.求下列函数的周期：（1）y=cos2x；（2）y=-2cos(- x-1)；（3）y=|sin2x|；（4）y=cos3x+sin2x思路解析：（1）复合函数，可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理；（2）先用诱导公式将 转为正值，再用 T= ；（3）可利用绝对值的意义；（4）可用最小公倍数2法解：（1）把 2x 看成一个新的变量 u，那么 cosu 的最小正周期是 2，这就是说，当 u 增加到 u+2 且必须增加到 u+2 时，函数 cosu 的值重复出现，而 u+22x+2=2(x+)，所以当自变量 x 增加到 x+ 且必须增加到 x+ 时，函数值重复出现，因此，y=cos2x 的周期为 （2）y=-2cos(- x-1)21=-2cos( x+1),T= =4（3）因为 y=|sinx|的周期是 =，故 y=|sin2x|的周期是 22（4）y 1=cos3x 的周期 T1= ；y 2=sin2x 的周期 T2= =.因为 T1= ,T2= 且 4 与3646 的最小公倍数是 12，所以 T= =26
