1、更上一层楼基础巩固1.已知 a=(3,2),b=(2,-3),则向量 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.6432思路解析:由 ab=32+2(-3)=0,ab.两向量夹角为 .也可通过画简图帮助分析.答案:D2.若向量 a 与 b 的夹角为 120,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则向量 a 的模为( )A.2 B.4 C.6 D.12思路解析:将( a+2b)(a-3b)=-72 展开,即 a2+2ab-3ab-6b2=-72.|a|2-ab-6|b|2+72=0,即|a| 2-|a|b|cos120-24=0.|a|2+2|a|-24=0,解得| a|=4 或|
2、 a|=-6(舍去).故|a |=4.答案:B3.已知平面向量 a=(4,2),b=(x,-4),且 ab,则 x 等于( )A.2 B.1 C.-1 D.-2思路解析:4x+2(-4)=0 得 x=2.答案:A4.已知 a=(1,1),b=(1,0)且 ka+b 恰好与 b 垂直,则实数 k 的值是( )A.1 B.-1 C.1 或-1 D.以上都不对思路解析:ka+ b=k(1,1)+(1,0)=(1+k,k),ka+b 与 b 垂直,(ka+b)b=0,即 (1+k,k)(1,0)=0.(1+k)1+k0=0 得 k=-1.答案:B5.已知 a、b 是非零向量且满足( a-2b)a,(b
3、-2a)b,则 a 与 b 的夹角是( )A. B. C. D.633265思路解析:设 a 与 b 的夹角是 ,(a-2b)a,(a-2b)a=0,即|a |2-2ab=0. 又 (b-2a)b,(b-2a)b=0,即|b |2-2ab=0. 由知|a|=|b|, ab= |a|2= |b|2,1cos= = .2|a 与 b 的夹角为 .3答案:B6.已知平面上三点 A、B、C 满足| |=6,| |=8,| |=10,则 BCABCA的值等于_.AB思路解析: | |2+| |2=| |2,BCAB=90 cosABC=0,cosBAC= ,cosBCA= .534原式 =680+810
4、(- )+610(- )=-100.4答案:-1007.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:(ab)c -(ca)b=0;|a|-|b| |a-b|;(bc)a-(ca)b 不与 c 垂直;(3 a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有_.思路解析: 错误 ,因向量的数量积不满足结合律.错误 ,因(bc) a-(ca)b c=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0,则 (bc)a-(ca)b 与 c 垂直.都是正确的 .答案:8.已知|a |=5,b=(-4,3),且 ab,则 a 的坐标为_.思路解析:设 a 的坐标为(x,y),由已知则有
5、解得 或0.3y4x-25,243,x-.y,答案:(3,4) 或(-3,-4)9.已知|a |=8,|b|=10,当(1) ab,(2)ab,(3)a 与 b 的夹角为 60时,分别求 a 与 b 的数量积.思路分析:利用向量数量积的定义求解 ,求解时应注意两向量平行时需分两类.解:(1)ab,若 a 与 b 同向,则 =0,ab=|a|b|cos0=810=80.若 a 与 b 反向,则 =180,ab=|a|b|cos180=810(-1)=-80.(2)当 ab 时,=90,ab=|a|b |cos90=0.(3)当 a 与 b 的夹角为 60时,a b=|a|b|cos60=810
6、=40.2110.已知向量 a=(3,4),b=(4,3),试确定能使(x a+yb)a 且|xa+y b|=1 成立的 x、y 的值.思路分析:本题利用向量的模、垂直的坐标表示等基础知识.解题时由已知条件建方程组解之即可.解:由于 a=(3,4),b=(4,3),所以 xa+yb=x(3,4)+y(4,3)=(3x+4y,4x+3y).因为(xa+y b)a 且|xa+yb|=1,所以有 1.3y)(4x(30,22解得 或75-y,x.,-综合应用11.若 O 为ABC 所在平面内一点,且满足( )( )=0,则ABC 的形OCBA2状为( )A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
7、D.A、B、C 均不是思路解析:由( )( )=0,得 ( )=0,CBAO2又 ,A( )( )=0,即| |2-| |2=0.BC| |=| |.AABC 为等腰三角形.答案:C12.已知点 A(1,0)、B(5,-2)、C(8,4)、D(4,6),则四边形是( )A.正方形 B.菱形 C.梯形 D.矩形思路解析:如右图,=(4,-2), =(4,-2),ABDC .四边形 ABCD 为平行四边形.又 =(4,-2)(3,6)=43+(-2)6=0, .又| | |,ABDA四边形为矩形.答案:D13.已知 a=(,3),b=(-3,5)且 a 与 b 的夹角为钝角,则 的取值范围是( )
8、A.5 B.5 C.5 D.5思路解析:设两向量的夹角为 ,由已知可得-1cos= 0,259312经验证 A 项正确.答案:A14.点 A(3,0)、 B(-2,0),动点 P(x,y)满足 =x2,则点 P 的轨迹方程是_.PAB思路解析: =(3-x,-y), =(-2-x,-y).PAB(3-x)(-2-x)+(-y)(-y)=x2.y2=x+6.答案:y 2=x+615.已知 a、b 为非零向量,当 t=_时,a+tb(tR) 的模取最小值.思路解析:由| a+tb|2=t2|b|2+2tab+|a|2 是关于 t 的二次式,当 t=- 时,即 t=- .|答案:- 2|ba16.i
9、、j 是平面直角坐标系内 x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量,且 =4i+2j, =3i+4j,ABC证明ABC 是直角三角形,并求它的面积.思路分析:利用向量数量积的坐标运算及垂直的坐标条件 .证明: =(4,2), =(3,4),ABC则 =(3-4,4-2)=(-1,2), =(-4,-2),A =(-1)(-4)+(-2)2=0. ,BAC即ABC 是直角三角形.| |= ,| |= ,且B=90,5242BC5)2(1SABC= =5.117.(2006 四川高考)如图 2-4-8,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )图 2-4-8A. B. C
10、. D. 21P321P421P521P6思路分析:设正六边形的边长为 1,则 =1 cos30= ,2133 =12cos60=1,21P4 =1 cos90=0,53 =11cos120=- .21621答案:A18.(2006 重庆高考)与向量 a=( , ),b=( , )的夹角相等,且模为 1 的向量是( )72A.( ,- ) B.( ,- )或(- , )5435435C.( ,- ) D.( ,- )或(- , )2113思路解析:设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组求解或反代排除法求解.方法一:设所求向量的坐标为 (x,y),由已知可得,)27(1)2(7,2yxyx解得
11、或53,4yx.,方法二:(反代排除法)验证( ,- )满足已知条件,验证(- , )也满足已知条件,故选择 B.543543答案:B19.(2006 江西高考)已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= ,若( a+b)c= ,则 a 与 c 的夹角为( )2A.30 B.60 C.120 D.150思路解析:本题利用向量数量积的坐标运算和向量数量积的性质.解题时要注意隐含条件 a与 a+b 反向.a+b=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2)=-a,则 a 与 a+b 反向.又 a+b=(-1,-2),则| a+b|= .5则由(a+b)c= ,可得 a+b 与 c 的夹角
12、为 60,2a 与 c 的夹角为 120.答案:C20.(2006 重庆高考)已知三点 A(2,3)、B(-1,-1) 、C(6,k), 其中 k 为常数.若| |=| |,则ABC与 的夹角为( )ABCA.arccos(- ) B. 或 arccos254254C.arccos D. 或 -arccos思路解析:先由已知条件求出 k 的值,再利用向量数量积的坐标运算求出两向量的夹角.由| |=| |可得 ,解得 k=0 或 k=6.ABC2222 )3()6()31()( k设 与 的夹角为 .当 k=0 时, =(-3,-4), =(4,-3),A则 cos= =0.5)4(33)(22
13、当 k=6 时, =(-3,-4), =(4,3),BC则 cos= =- .22234)(35所以 的值为 或 -arccos .答案:D21.(2006 浙江高考)设向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,且( a-b)c,ab,若|a|=1,则| a|2+|b|2+|c|2 的值是_.思路解析:由向量加、减法的平行四边形法则 ,以 a、b 对应有向线段为邻边可以构成一个正方形,则其对角线长为 ,且其中一条对应向量 c.2答案:422.(2006 天津高考)设向量 a 与 b 的夹角为 ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cos=_.思路解析:首先求出向量 b,再利用夹角公式求
14、解.答案: 10323.(2006 北京高考)已知向量 a=(cos,sin),b=(cos,sin),且 ab,那么 a+b 与 a-b 的夹角大小是_.思路解析:方法一:设 a+b 与 a-b 的夹角为 .a=(cos,sin),b=(cos,sin),a+b=(cos,sin)+(cos,sin)=(cos+cos,sin+sin);a-b=(cos,sin)-(cos,sin)=(cos-cos,sin-sin).cos= 2222 )sin()cos()sin()cos( inico = =0.2222 )sin()cos()sin()cos( inico = .2方法二:a=(cos,sin),b =(cos,sin),|a|= =1,|b|= cos2+sin2=1.2sinco2sinco而(a+ b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,a+ba-b,即 a+b 与 a-b 的夹角大小是 .答案: 2
