1、课堂导学三点剖析一、相似三角形的判定【例 1】在ABC 中,EF BC,DFAB,求证:(1)AEFFDC;(2) =1.ABECD图 1-3-1(1)证法一：EF BC,AFE=C.又DFAB,A= DFC.AEFFDC.证法二:EFBC,AEFABC.又DFAB, ABCFDC.AEFFDC.(2)思路分析:证明 =1 可以考虑 = (其中 y+z=x),进行证明 =ABECDABECDxzyBCD, = .xyABEz证明:DFAB, = .F又EFBC, = .AC = +BECD= =1.AF二、利用本节预备定理证明平行【例 2】如图 1-3-4,线段 EF 平行于 ABCD 的一边
2、 AD,BE 与 CF 交于一点 G,AE 与 DF 交于点 H.求证:GHAB.图 1-3-4证明：四边形 ABCD 是平行四边形,AD BC.EFAD,HEFHAD. = .EF BC,EHAFDGEFGBC. = . = .GBCEGB ,即 .HAGHAB.三、利用相似三角形探究【例 3】如图 1-3-6,E 为ABC 的边 AC 上一点, = ,连结 BE.ECA21图 1-3-6(1)若 G 为 BE 的中点,连结 AG 并延长交 BC 于 D,求 BD DC 的值.(2)若 BGGE=2 1,则 BD DC 的值将如何变化?(3)若 的值由 改变为 ,G 仍为 BE 中点,求 B
3、DDC.ECA21nm解析：(1)过 E 作 EHBC 交 AD 于 H,则在BDG 和EHG 中, ,EGHBDBDGEHG.BD=EH.又EHCD, = = . = .DCHA31B(2)如图 1-3-7,过 E 作 EHBC 交 AD 于 H,则BDG EHG.图 1-3-7 = = .EHBDG12BD=2EH.又EHDC, = = . = = .CDEHA31CBDEH23(3)原理同(1).= = = .Bnm各个击破类题演练 1如图 1-3-2,梯形 ABCD 中,DBC(AD BC),E 为 AD 的中点,连结 CE 并延长交 BA 的延长线于 G,交 BD 于 F.求证:EF
4、CG=EG CF.图 1-3-2证明:AE BC,AEGBCG. .BCAEG又EDBC,DEFBCF. = .CFEBDE 为 AD 的中点, = . = .AFEF CG=EG CF.温馨提示要切实注意三角形相似的顶点对应关系,此题还有其他证法.变式提升 1如图 1-3-3, ABCD 中,AD=5,AB=10,AE=4, 且 AFBC, 求 CE 为何值时,ADEABF?图 1-3-3解析：若ABFADE, 而ABF 为直角三角形,故AED 也为直角三角形 .ED= =3.又 BCD 中,AB=CD=10,2245AEDCE=CD-DE=10-3=7.类题演练 2如图 1-3-5,已知
5、DEAB,EFBC,求证:DFAC.图 1-3-5证明:DEAB,ODE OAB. = .ODAEB又EFBC, OEFOBC. = . = .DF AC.FCOFC类题演练 3如图 1-3-8,P 为 ABCD 对角线 BD 上的任意点,过 P 任作直线 EF,交 BC 的延长线于 F,分别交 DC、BA 于 G、H,交 DA 的延长线于 E.(1)求证:PH PE=PF PG.(2)当 P 位于 BD 上什么位置时,PE=PF 且 PH=PG?图 1-3-8(1)证明:DG BH,PDGPBH. = .PGHDB又DEBF, PED PFB. = .EF = .PH PE=PF PG.(2)解析：显然,当 P 位于 BD 的中点时,(1)中两组三角形由相似变为全等,从而 PE=PF,PH=PG.温馨提示本题结论中的四条线段在同一条线段上,解决此类问题的关键是找到一个中介比(本题中的 ).DB
