1、课堂探究探究一 由双曲线方程研究其几何性质已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤：先将双曲线的方程化为标准形式 1 ，再根据 a，b 的值(注意分母分别为 a2，b 2，而不是 a，b) 求出x2a2 y2b2 (或 y2a2 x2b2 1)c，进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案画几何图形时，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角线所在的直线 )和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似图形【典型例题 1】 求双曲线 16x29y 2144 的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程，并作出草图思路分析：将双曲线方程变为标准方程，确
2、定 a，b，c 后求解解：把方程 16x29y 2144 化为标准方程 1，由此可知，实半轴长 a4，y242 x232虚半轴长 b3，c 5，焦点坐标为(0 ，5)，(0,5) ；顶点坐标为(0 ，4)，(0,4)；a2 b2离心率为 e ；渐近线方程为 y x.作草图ca 54 43探究二 利用几何性质求双曲线的标准方程双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似，一般都采用待定系数法，即先设出标准方程，再利用条件列出关于 a，b，c 的方程，解方程组求出待定系数【典型例题 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为 y x，焦距为 10；12(2)已知双曲线的渐近线
3、方程为 y x，且过点 M ；23 (92， 1)(3)与椭圆 1 有公共焦点，且率心率 e .x249 y224 54思路分析：根据题设条件确定 a，b 的关系式，利用解方程的方法求得 a，b 的值但焦点位置不明确的，要注意分情况讨论也可根据双曲线的几何情况，设出双曲线系方程再求解解：(1)解法一：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程为 1.x2a2 y2b2由渐近线方程为 y x，得 ，2c10.12 ba 12又 c2a 2b 2，得 a220，b 25，所以双曲线的标准方程为 1.x220 y25同理，当焦点在 y 轴上时，可得双曲线的方程为 1，y25 x220所以所求双曲线的标准
4、方程为 1 或 1.x220 y25 y25 x220解法二：由渐近线方程为 y x，12可设双曲线方程为 y 2( 0) ，即 1.x24 x24 y2由 a2b 2c 2,2c10，得|4 | |25，所以| 5，所以 5，所以所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x220 y25 y25 x220(2)因为双曲线的渐近线方程为 2x3y0，所以可设双曲线的方程为 4x29y 2 (0) 又因为双曲线过点 M ，(92， 1)所以 4 972.814所以双曲线方程为 4x29y 272，即标准方程为 1.x218 y28(3)解法一：由椭圆方程可得焦点坐标为( 5,0)，(5,0)，即 c5
5、 且焦点在 x 轴上设双曲线方程为 1(a 0，b0) ，且 c5.x2a2 y2b2又 e ，ca 54所以 a4，所以 b2c 2a 29.所以双曲线的标准方程为 1.x216 y29解法二：因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以可设双曲线方程为 1(2449)x249 y2 24又 e ，所以 1，解得 33.54 2449 2516所以双曲线的标准方程为 1.x216 y29点评：(1)，(2)题中，利用渐近线方程与双曲线方程的关系，可设有公共渐近线的双曲线系方程 ( 0) 这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确x2a2 y2b2率(3)题的解法二利用共焦点的曲线系方程，不失
6、为一种巧妙的解题方法探究三 双曲线的离心率问题求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到 a，b，c 的关系式，再根据 c2a 2b 2，直接求 a，c 的值而在解题时常把 或 视为整体，把关系式转化为关于 或 的方程，解方ca ba ca ba程求之，从而得到离心率的值【典型例题 3】 双曲线的渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为_34思路分析：分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论，把 看作一个整体进行求解ba解析：方法 1：当焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 y x，依题意得ba ，b a，c a，故 e .当焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 y x，ba 34 34 a2 b2
7、54 ca 54 ab依题意得 ，b a，c a，即 e .方法 2：由 e 得：当 ab 34 43 a2 b2 53 ca 53 ca 1 (ba)2 ba时，e ；当 时，e .34 54 ba 43 53答案： 或53 54规律小结 求双曲线的离心率的常用方法：(1)利用 a，c 求若可求得 a，c，则直接利用 e 得解ca(2)利用 a，b 求若已知 a，b，可直接利用 e 得解1 (ba)2(3)利用方程求若得到的是关于 a，c 的齐次方程(p，q，r 为常数，且 p0)，即pc2q acr a20，则转化为关于 e 的方程 pe2qer0 求解探究四 双曲线的渐近线问题根据双曲线
8、的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0” ，就得到了此双曲线的渐近线方程与双曲线 1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 ( 0)；若已知双曲x2a2 y2b2 x2a2 y2b2线的渐近线方程 0 或 y x，则双曲线方程可设为 ( 0)当 0 时，焦xayb ba x2a2 y2b2点在 x 轴上；当 0 时，焦点在 y 轴上【典型例题 4】 已知 F1，F 2 为双曲线 1( a0，b0) 的左、右焦点，过 F2 作x2a2 y2b2垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF 1F230，求该双曲线的渐近线方程思路分析：求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率，也就是求 a，b 间的关系本题利用双曲线的定义和直角三角形边角之间的关系，求 a，b 间的关系解：设 F2(c,0)(c0)，P(c ，y 0)，则 1，解得 y0 ，c2a2 0ybb2a所以|PF 2| .b2a在 Rt PF2F1 中， PF 1F230，所以|F 1F2| |PF2|，3即 2c .3b2a将 c2a 2b 2 代入式，解得 b22a 2 或 b2 a2(舍去 )，故 ，23 ba 2所以双曲线的渐近线方程为 y x.2
