1、二次函数的应用适用学科 数学 适用年级 初三适用区域 课时时长（分钟） 80知识点 1.二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2.用二次函数图象解决几何问题教学目标 1.知识与技能：会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。2.过程与方法：通过本节内容的学习，提高自主探索的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。3.情感态度与价值观：提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。教学重点 利用二次函数解决最值问题。教学难点 根据题意进行相应形式的解设，进而用最恰当的方法确定二次函数的解析式。教学过程一、复习预习我们学习了利用二次函数最值的求法，我们要能利用二次函
2、数解决最值问题的同时还要能利用二次函数与其他知识相结合解决综合性的问题。二、知识讲解考点/易错点 1用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题是二次函数应用最常见的问题，解决此类问题的关键是认真审题，理解题意，建立二次函数的数学模型，再用二次函数的相关知识解决利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值考点/易错点 2用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，
3、互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全等、相似、最大( 小) 面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的三、例题精析【例题 1】 【题干】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 （万元）。41)60(12xp当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项
4、目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润 （万元）160)(5294)10(9xxQ（1）若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？【答案】【解析】（1）由 可得 p 最大为 41。.继而求的 5 年所获利润的最大值。41)60(12xp（2）
5、首先求前两年的获利最大值，然后后三年。（3）比较可知，该方案具有极大的实施价值。【例题 2】【题干】牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为 10 元/件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：（1）把上表中 x、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 35 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？【答案】解：（1）画
6、图如图：由图可猜想 y 与 x 是一次函数关系， 设这个一次函数为 ，)0(kb这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点， ，解得 ，k3042571函数关系式是 0xy（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元，依题意得： 90)4(1081)(1 22 xxW当时 x=40，W 有最大值 9000.（3）对于函数 ，当 x 时，W 的值随着 x 值的增大而增大，94(02x35销售单价定为 35 元 件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大【解析】设好一次函数关系式，利用函数的性质【例题 3】【题干】某公司营销 A、B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息
7、1：销售 A 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx在 x=1 时，y=1.4；当 x=3 时，y=3.6信息 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？【答案】解：（1）当 x=1 时，y=1.4；当 x=3 时，y=3.6， ，6.394ba解得 ，50所以，二次函数解析式为 y=0.1x 2+1.5x；（2）设购
8、进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（10m）吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为W 元，则 W=0.1m 2+1.5m+0.3（10m）=0.1m 2+1.2m+3=0.1（m6） 2+6.6，0.10，当 m=6 时，W 有最大值 6.6，购进 A 产品 6 吨，购进 B 产品 4 吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 6.6 万元【解析】 （1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；（2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（10m）吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到 W 与 m
9、 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答【例题 4】【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）【答案】已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 1802-x=（90-x）cm由题意得：y=x（90-x）20=-20（x 2-90x）=-20（x-45） 2+40500当 x=45 时，y 有最大值，最大值为 40500答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3【解析】根据题意列出二次函
10、数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值【例题 5】【题干】如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，点 E 在 AC 上（点 E 与 A、C 都不重合），点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A、B 都不重合）（）若 EF 平分 RtABC 的周长，设 AE=x，AEF 的面积为 y，写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（）试问：是否存在直线 EF 将 RtABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出 AE 的长；若不存在，说明理由【答案】解：（）在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=4，所以 AB=5三角形 ABC 的周长为 12，又因 EF 平方三
11、角形 ABC 的周长，AE+AF=6，而 AE=x，AF=6x过点 F 作 FDAC 于 D则 54sinABC 6X )(xF所以 )30(512)6(5421xxDAEy（）这样的 EF 存在，SABC= BC?AC= 43=6EF 平分ABC 的面积，所以 3512x解得： 60x3 26x5符合题意，所以这样的 EF 存在，此时 AE= 26【解析】（）根据 AE=x 得到 AF，然后表示出 DF，利用三角形的面积列出两个变量之间的关系式即可；（）根据 EF 平分三角形 ABC 的面积列出有关 x 的一元二次方程，解得有意义即可判定存在【例题 6】【题干】如图，在平面直角坐标系中，抛物
12、线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式；（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值【答案】解：（1）把 A（2，4），O（0，0 ），B （2 ，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c中，得024cba解这个方程组，得 0,12cba所以解析式为 xy（2）由 ，可得2)(12抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小过点 A 作 ANx 轴于点 N，在 RtABN 中， 242
13、2BA因此 OM+AM 最小值为 24【解析】(1)待定系数法求函数解析式（2）两点之间线段最短四、课堂运用【基础】1、如图，用长为 20 米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于 180，设扇形花坛的半径为 米，面积为 平方米（注： 的近似值取 3）（1）求出 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（2）当半径 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值【答案】（1）设扇形的弧长为 l 米.由题意可知， . . .其中 .（2） .当 时， .【解析】本题主要考查了函数模型的选择与应用此题涉及中间量转换问题，不过根据公式进行转换难度不是很大.2、已知二次函数 的图像经过
14、点 P(0, 1)与 Q(2, 3)cbxy2（1）求此二次函数的解析式；（2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B，分别过点 B、A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，且所得四边形 ABCD 恰为正方形求正方形的 ABCD 的面积；联结 PA、PD，PD 交 AB 于点 E，求证： PE【答案】【解析】【巩固】1、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件
15、10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【答案】：（1）当 x=20 时，y=10x+500=1020+500=300，300（1210）=3002=600，即政府这个月为他承担的总差价为 600 元（
16、2）依题意得，w=（x10）（10x+500）=10x2+600x5000=10（x30）2+4000a=100，当 x=30 时，w 有最大值 4000即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000（3）由题意得： 3056102x解得：x 1=20，x 2=40a=100，抛物线开口向下，结合图象可知：当 20x40 时，w3000又x25，当 20x25 时，w3000设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，p=（1210）（10x+500）=20x+1000k=200p 随 x 的增大而减小，当 x=25 时，p 有最小值 500即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承
17、担的总差价最少为 500 元【解析】（1）把 x=20 代入 y=10x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价成本价，得 w=（x10）（10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令10x 2+600x5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值.【拔高】1、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试
18、验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P 最大？【答案】（1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b 由题意可得： bk291436解得 08bk故 y 与 x 的函数关系式为：y=3x+108 （2）每天获得的利润为 P=（3x+108）（x20）=3x 2+168x216
19、0=3（x28）2+192 故当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大【解析】（1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b，由题意可列出 k 和 b 的二元一次方程组，解出 k 和 b 的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（3x+108）（ x20），转换为 P=3（x28）2+192，于是求出每天获得的利润 P 最大时的销售价格.2、已知：抛物线的对称轴为 x=-1 与 x 轴交与 A,B 两点，与 y 轴交于点 C,其中 A（-3,0），C（0,-2）（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 的周长最小请求出点 P 的坐标BC【答案】解
20、：（1）由题意得 解得20391cba2342cba所以此抛物线的解析式为 2342xy（2）连结 AC,BC.因为 BC 的长度一定，所以 周长最小，就是使 PC+PB 最小。 B 点关PBC于 Y 对称轴的对称点是 A 点，AC 与对称轴的交点即为所求的点 P。设直线 AC 的表达式为 则，bkxy解得203bk23此直线的表达式为 xy把 x=-1 代入得 34所以点 p 坐标为（-1， ）【解析】根据已知条件列出方程解抛物线的解析式。利用抛物线的对称性找到对称点即可课程小结二次函数的应用中有关最值的问题是和一元二次方程、一次函数相结合的产物，所以要求的综合能力较强，对知识的要求也较高。
21、在解决利润问题时，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时注意考虑问题要周全。课后作业【基础】1、教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是_。3)4(12xy【答案】10m【解析】本题考查二次函数的应用。令函数式 中， ，3)4(12xy0y，03)4(12x解得 )(2,舍 去即铅球推出的距离是 10m。【巩固】某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售单价 x(元/件)与每天销售量 y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利
22、润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb（k0）由所给函数图象得 k1503解得 180bk函数关系式为 yx180. (2)W(x100)y(x100)(x180) x 2280x18000 (x140) 21600 当售价定为 140 元，W 最大 1600.售价定为 140元/件时,每天最大利润 W1600 元【解析】本题主要考查学生利用函数解决实际问题的能力，第一问，我们可以利用待定系数法求出一次函数的解析式；然后利用计算利润的公式：利润=（售价进价）销售
23、量，得到二次函数解析式，并会利用配方法求二次函数最值。【拔高】1、某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】：（1）由题意，可设 y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得： bk62053解得： ，80bk所以 y 与 x 之间的关系式为：y=10000x+80000；（2）设利润为 W，则 W=
24、（x4）（10000x+80000）=10000（x4）（x8）=10000（x 212x+32）=10000（x6） 24=10000（x6） 2+40000所以当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元【解析】（1）利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式；（2）根据“利润= （售价成本） 售出件数”，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值2、如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与双曲线 相交于点 A，B，且抛物线经过坐标xky原点，点 A 的坐标为（
25、2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BCx 轴，点 C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E（1 ）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC 与ABE 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使ABD 的面积等于ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）点 A（2，2）在双曲线 上，k=4，xky双曲线的解析式为 ，xy4BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴距离的 4 倍，设 B 点坐标为（m，4m）（m0）代入双曲线解析式得 m
26、=1，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）过点 A（2，2）、B（1，4）、O（0，0）， 解得：4cba3cb故抛物线的解析式为 y=x 23x；（2）抛物线的解析式为 y=x 23x，顶点 E（ ， ），对称轴为 x=- ，3493B （1，4），x 23x=4，解得：x 1=1，x 2=4，C（4，4），S ABC =56 =15，由 A、B 两点坐标为（2，2），（1，4）可求得直线 AB 的解析式为：y=2x2，设抛物线的对称轴与 AB 交于点 F，则 F 点的坐标为（ ，1），23EF= 1= ，495S ABE =SAEF +SBEF = 3= ；21485【解析】（1）将点 A 的坐标代入双曲线方程即可得出 k 的值，设 B 点坐标为（m，4m）（m0），根据双曲线方程可得出 m 的值，然后分别得出了 A、B、O 的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；（2）根据点 B 的坐标，结合抛物线方程可求出点 C 的坐标，继而可得出三角形 ABC 的面积，先求出 AB 的解析式，然后求出点 F 的坐标，及 EF 的长，继而根据 SABE =SAEF +SBEF 可得出答案（3）先确定符合题意的三角形 ABD 的面积，继而可得出当点 D 与点 C 重合时，满足条件，过点 C 作 AB 的平行线 CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标
