1、课 题 线段垂直平分线与角平分线教学目标来源:gkstk.Com线段垂直平分线与角平分线概念与定理以及逆定理的理解与应用重点、难点 线段垂直平分线与角平分线定理与逆定理的理解与应用考点及考试要求 定理与逆定理的应用教学内容知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言： CD 是线段 AB 的垂直平分线 CA=CB定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： CA=CB
2、点 C 在线段 AB 的垂直平分线定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图 3，若直线 分别是ABC 三边 AB、BC、CA 的垂直平分线，则直线 相交于一点,ijk ,ijkO，且 OAOBOC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.m图 1DA BCm图 2DA BCji k图 3OB CA4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言表示： OE 是AOB 的平分线，CFOA，D
3、FOB CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 几何语言表示： PCOA，PDOB， PCPD，点 P 在AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：来源:学优高考网 gkstk三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的作用：用于
4、证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.线段垂直平分线练习题例 1 如图 1，在ABC 中，BC8cm，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，BCE 的周长等于18cm，求 AC 的长度例 2 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果EBC 的周长是 24cm，那么 BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果 BC=8cm，那么EBC 的周长是 3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，如果A=28 度，
5、那么EBC 是 A E B C D BB CDEA图 4 CDO ABF E图 5 CDO ABP图 6EFDIPR QBCA例 3、已知：在ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC。 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线例 4、如图 8，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的高，且C2B，求证：BDACCD.来源:gkstk.Com证明：练习1、如图，AC=AD，BC=BD，则（ ）A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD C.CD 平分ACB D.以上结论均不对2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C
6、.钝角三角形 D.等边三角形3、下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，过 P 作直线 MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4、已知如图，在ABC 中，AB=AC，O 是ABC 内一点，且 OB=OC，求证：AOBC.5、如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，AB 的垂直平分线MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM. AB CON 图 8B
7、CDAAPBFEC6、如图，在ABC 中，ABC=120，点 D 是 AB 延长线和 AC 垂直平分线的交点。联接 CD，这时 BC 恰好平分DCA。求A 的度数。角平分线例题例 1、已知：如图，点 B、C 在A 的两边上，且 AB=AC，P 为A 内一点， PB=PC，PEAC，PFAB，垂足分别是 E、F。求证：PE=PF例 2、如图 10，已知在四边形 ABCD 中，ABCD，ABBC，EFAD，E 为 BC 中点，连接 AE、DE，DE 平分ADC，求证：AE 平分BAD.例 3、如图，已知ABC 中，AB= AC，D 是 BC 的中点，求证： D 到 AB、AC 的距离相等. 练习图
8、 10F CDBAEDCBABEACD1、 ABC 中，AB=AC，AC 的中垂线交 AB 于 E，EBC 的周长为 20cm，AB=2BC，则腰长为_。2、 如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD 之间的距离等于_。3、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点4、如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是（ ）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD5、如图，直线 l1，l 2，l 3表示三条相互交叉的
9、公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A、4 处 B、3 处 C、2 处 D、1 处6、如图，ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB 于 E，且 AB6，则DEB 的周长为（ ） A、4 B、6 C、10 D、不能确定21DAPOEl2l1l3AEB第 4 题 第 5 题 第 6 题 7、如图，MPNP，MQ 为MNP 的角平分线，MTMP，连接 TQ，则下列结论中不正确的是（ ）A、TQPQ B、MQTMQP C、QTN90 D、NQTMQTNTQPMEDCBAEDCBAF第 7 题 第 8 题 第 9 题8、如
10、图在ABC 中，ACB=90，BE 平分ABC，DEAB 于 D，如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm A B O E C D 9、如图，已知 AB=AC，AE=AF，BE 与 CF 交于点 D，则对于下列结论：ABEACF；BDFCDE；D 在BAC 的平分线上其中正确的是（ ）A B C和 D10、如图，已知 BE 平分ABC，CE 平分ACD，且交 BE 于 E求证：AE 平分FAC.12、如图，B= C =90， M 是 BC 的中点，DM 平分 ADC，求证：AM 平分DAB .家庭作业：一、选择题1如图 1，在ABC 中
11、，AD 平分CAE，B= ，CAD= ，则ACD 等于 （ ）3065A B C D 5065892如图 2，在ABD 中，AD=4，AB=3 ，AC 平分BAD，则 = （ ）:ABCDSA B C D不能确定3:4:316:3如图 3，在ABC 中，C= ，AD 平分BAC，DEAB 于 E，则下列结论：AD 平分CDE；90BAC=BDE；DE 平分ADB；BE+AC=AB。其中正确的有 （ ）A2 个 B3 个 C4 个 D1 个4如图 4，ADBC，D= ，AP 平分DAB，PB 平分ABC，点 P 恰好在 CD 上，则 PD 与 PC 的大小关系是 （ ）APDPC BPDPC C
12、PD=PC D无法判断来源:学优高考网。EFDCBAPDCBAEDCBAD C BAEDCBA图 3 图 4图 1 图 25、在三角形内部，有一点 P 到三角形三个顶点的距离相等，则点 P 一定是 （ ）A、三角形三条角平分线的交点； B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。6、已知ABC 的三边的垂直平分线交点在ABC 的边上，则ABC 的形状为 （ ）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定7、如图所示，在ABC 中，BAC90，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AD 于 E，F 在 BC 上，并且BFAB，则下列四个结论
13、：EFAC，EFB BAD，AEEF，ABEFBE，其中正确的结论有 （ ）A、 B、 C、 D、来源:gkstk.Com7 题图 8 题图 9 题图8、如图所示，在 中，C90， AC4，AB7，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DEAB 于 E，AB则 EB 的长是 （ ）A、3 B、4 C、5 D、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示） ，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。A、1 B、2 C、 3 D、410、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 （ ）三条中线的交
14、点 三条高的交点三条边的垂直平分线的交点 三条角平分线的交点二、填空题。1、如图，点 在 的平分线上，若使 ，则需添加的一个条件是 （只PAOB AOPB 写一个即可，不添加辅助线）：2、如图，ABC 中，DE、FG 分别是边 AB、AC 的垂直平分线，BC8 则则EAG 的周长= 。3、如图，ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分 AB，则BCD 的周长是 。第 2 题 第 3 题 4. 如图，在 中， ， 平分 ， ，那么 点到直线 的距离是 ABC 90ADCB8cm5cBD， ABFDECBADECB Acb a1 题APOOCBADPcm5如图，在 RtABC 中，
15、C=90，A=30，BD 是ABC 的平分线，若 BD=10，则 CD= 6如图，ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线， AB=8，BC=4，A=36，则DBC= ，BDC的周长C BDC = 7如图，1=50，2=80，DB=AB，CE=CA，则D= ，DAE= 8如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 的长分别是 20、30、40、其中三条角平分线将 ABD 分为三个三角形，则 S：S ：S 等于_.ABOCAO三、解答题1如图所示，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若 PC=4，求 PD 的长2已知：E是AOB的平分线上一点，ECOA ，EDOB ，垂足分别为C、D求证：（1）ECD=EDC ；（2）OE是CD的垂直平分线第 8 题DECBAO
