1、课堂导学三点剖析一、两个计数原理的并列性和相依性【例 1】 书架的上层放有 5 本不同的数学书,中层放有 6 本不同的语文书,下层放有 4 本不同的外语书,(1)求从中任取一本书的不同取法的总数;(2)如果从中任取 3 本书,包括数学、语文、外语各一本,则不同取法的总数是多少 ?思路分析:从分步和分类两方面来考虑这个问题 .解:(1)从中取一本可分 3 种情况 :1数学书:有 5 种取法;2语文书:有 6 种取法;3外语书:有 4 种取法.根据分类计数原理知 N =5+6+4=15(种).(2)分三步.1取一本数学书,有 5 种取法;2取一本语文书,有 6 种取法;3取一本外语书,有 4 种取
2、法.根据分步计数原理知 N =564=120(种).温馨提示“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情,而“ 分步骤 ”必须把各步骤均完成才能完成所给事情,所以准确理解两个原理的关键在于明确分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰.二、分类计数原理【例 2】 4 张卡片的正、反面分别有 0 与 1、2 与 3、4 与 5、6 与 7,将其中 3 张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数?思路分析:分步确定百位、十位、个位 ,注意到首位不能为 0,且正、反两面均可用.解:分三个步骤:第一步:首位可放 8-1=7 个数;第二步:十位可放 6 个数;第三步:个位可放 4 个数;据乘法原理
3、,可组成 N =764=168 个.温馨提示运用分类计数原理时,要恰当选择分类标准,做到不重不漏.三、应用两个基本原理时,分类与分步的标准【例 3】 如图所示为一电路图,从 A 到 B 共有_条不同的线路可通电 (仅为串联的情况).解析: 按上、中、下三条线路可分为三类,从上线路中有 3 种,中线路中有 1 种,下线路中有22=4(种).根据分类计数原理,共有 3+1+4=8(种).答案:8温馨提示完成一件事可以有独立的几种办法,那么解决此问题需按分类计数原理,本题中按上、中、下三条路线都可使线路通电,因此可分三类.但下线路中又得分成两步才能完成,需用乘法计数原理.各个击破类题演练 1一个袋子
4、里装有 10 张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有 12 张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡,共有多少种不同的取法 ?(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选择使用 ,问一共有多少种不同的取法?解析:本题主要考查两个计数原理的应用以及分类思想方法.关键是确定完成这件事,到底是分“类”还是分“ 步”.(1)任取一张手机卡,可以从 10 张不同的中国移动卡中任取一张 ,或从 12 张不同的中国联通卡中任取一张,每一类办法都能完成这件事,故应用分类计数原理知,有 10+12=22(种)取法. (2)从移动、联通卡中各取一张,则要分两步完
5、成:从移动卡中任取一张,再从联通卡中任取一张,故应用分步计数原理知,有 1012=120(种) 取法.变式提升 1在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有_个.解析:根据题意将十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,1 个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数个数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).答案:36类题演练 2我们把壹元硬币有国徽的一面叫做正面,有币值的一面叫做反面.现依次抛出 5 枚一元硬币按照抛出的顺序得到一个由 5 个“正”或
6、“ 反”组成的序列,如“正,反,反,反,正”.问一共可以得到多少个不同的这样的序列?解析:分五个步骤完成这件事,每个步骤都有“正”或“反” 两种不同的情况,由分步乘法计数原理,得N=22222=25=32.所以一共可以得到 32 个不同的序列.变式提升 2将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使每一条棱上的两端点异色,如果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.解析:可分成如下两大步:任一侧面的三点涂色作为第一大步;另两顶点应为与此取定的侧面相对的一棱的两个顶点的涂色为第二大步.用分步计数原理即可得解.如图,四棱锥 SABCD 的顶点 S、A、B 所染颜色互不相同,它们共有 543=
7、60 种染色方法.当 S、A、B 已染好后,不妨设其颜色分别为 1、2、3; 若 C 染颜色 2,则 D 可染颜色 3、4、5中之一,有 3 种染法;若 C 染颜色 4,则 D 可染颜色 3 或 5,有 2 种染法; 若 C 染颜色 5,则 D 可染颜色 3 或 4,也有 2 种染法.可见,当 S、A、B 染好后,C 与 D 还有 7 种染法.因此不同的染色方法共有 607=420(种).类题演练 3集合 A =a,b,c,d,e有 5 个元素,集合 B =m,n,f,h有 4 个元素,则(1)从集合 A 到集合 B 可以建立_个不同的映射;(2)从集合 B 到集合 A 可以建立_个不同的映射.解析:要想建立一个从 A 到 B 的映射,必须使集合 A 中的每一个元素都能在 B 中有唯一确定的元素与之对应.因此,要使 A 中 5 个元素均找到象,必分 5 步完成.首先看 A 中元素 a 在 B 中有象的可能有 4 种,其他同样用分步原理求解.根据映射定义,以及分步计数原理可得(1)可建立起 44444=45(个 )不同的映射;(2)可建立起 5555=54(个)不同的映射 .答案:(1)4 5 (2)5 4
