1、2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.设随机变量 XB（n,p）,且 EX=1.6,VX=1.28,则（ ）A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45答案:A解析：XB(n,p),EX=np,VX=np(1-p).从而有 2.0,82.1)(,6pnpn得2.已知 B(n,p),E=8,V=1.6,则 n 与 p 的值分别是（ ）A.100 和 0.08 B.20 和 0.4C.10 和 0.2 D.10 和 0.8答案:D解析：若随机变量 B(n,p),则 E=np=8,且 V=np(1-p)=1
2、.6,n=10,p=0.8.3.设掷一颗骰子的点数为 ,则( )A.E=3.5,V=3.52 B.E=3.5,V=1235C.E=3.5,V=3.5 D.E=3.5,V= 6答案:B4.两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量 X1、X 2，已知 EX1=EX2，VX 1VX2,则自动包装机_的质量较好.答案:乙解析：EX 1=EX2 说明甲、乙两机包装重量的平均水平一样，VX 1VX2 说明甲机包装重量的差别大，不稳定.乙机质量好.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.若随机变量 的分布如下表所示,则 的标准差为( ) 0 1P 1-p PA.p B.1-p C.p(1-p) D. )
3、(p答案:D解析：随机变量 服从(0,1)分布,E（ u）=0(1-p)+p=p, V()=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p), .)1(V2.已知 V(a+b)=a2V+b2V,若 V=3,V=1,则 V(-+2)为( )A.-1 B.7 C.1 D.6答案:B解析：V(a+b)=a 2V+b2V,V(-+2)=V+4V=3+41=7.3.已知随机变量 的分布列是( ) 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则 V和 E分别等于( )A.0 和 1 B.1.8 和 1C.2 和 2 D.0.8 和 2答案:D4.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量_;方差或标准差越小,随机
4、变量偏离于均值的平均程度就_.答案:取值偏离于均值的平均程度 越小5.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲：所得环数 X1 10 9 8概率 P 0.2 0.6 0.2射手乙：所得环数 X2 10 9 8概率 P 0.4 0.2 0.4谁的射击水平比较稳定？解：E（X 1）=100.2+90.6+80.2=9,V(X1)=(10-9)20.2+(9-9)20.6+(8-9)20.2=0.2+0.2=0.4,E(X2)=100.4+90.2+80.4=9,V(X2)=(10-9)20.4+(9-9)20.2+(8-9)20.4=0.4+0.4=0.8.由 V（X 1）V(X 2
5、)，可知甲的射击水平比乙稳定 .30 分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.同时抛掷两枚均匀硬币 100 次,设两枚硬币同时出现正面的次数为 ,则 的期望与方差分别为( )A.25,18.75 B.25,25 C.50,18.75 D.50,25答案:A解析：同时掷抛两枚均匀硬币,出现的情况有四种:正,正; 正 ,负;负,正;负,负.而出现每种情况的概率均为 ,的数学期望 E=25.方差利用公式即可.412.设随机变量 N(0,1),则 P（-11) 等于( )A.2（1）-1 B.2（-1）-1C. D.（1）+ （-1 ）2)(答案:A解析：P(-11)=P(1)-P(-1)=(1)-(-
6、1)=2(1)-1.3.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量 =|a-b|的取值，则 的数学期望 E为（ ）A. B. C. D.98535251答案:A解析：对称轴在 y 轴左侧的抛物线共有 2 =126 条.173C可取的值为 0,1,2.P(=0)= = ,12673P(=1)= ,948P(=2)= ,E=0 +1 +2 = .31284.设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P（A ）=p,令随机变量 X= 则 X 的方,01不 出 现出 现A差 VX 等于（ ）A.p B.2p
7、(1-p) C.-p(1-p) D.p(1-p)答案:D解析：EX=0(1-p)+1 p=p,VX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2=p(1-p).5.若 X 是离散型随机变量，P（X=x 1）= ,P(X=x2)= ,且 x1x2,又已知 EX= ，VX= ，33492则 x1+x2 的值为（ ）A. B. C.3 D.3537答案:C解析：由 EX= x1+ x2= ,得42x1+x2=4.又 VX=(x1- )2 +(x2- )2 = ,得343918x12+9x22-48x1-24x2+29=0.由且 x1x2,得 x1+x2=3.6.一般地,若离散型随机变量 X 的频
8、率分布为X x1 x2 xnP p1 p2 pn则(x i-)2=E(X)描述了 xi(i=1,2,n)相对于均值 的偏离程度,故(x 1-)2p1+(x2-)2p2+(xn-)2pn(其中 pi0,i=1,2, ,n,p1+p2+pn=1)刻画了随机变量 X 与其均值 的平均偏离程度,我们将其称为_,记为_.答案:离散型随机 变量 X 的方差 V(X)或 237.证明事件在一次试验中发生次数方差不超过 .41证明:设事件在一次试验中发生的次数为 ，显然 可能的取值为 0 和 1，又设事件在一次试验中发生的概率为 P，则 P(=0)=1-p，P(=1)=p.E=0(1-p)+1p=p,V=(1-p)(0-p)2+p(1-p)2=(1-p)p2+p(1-p)2=p(1-p)( )2= .1p48.设在 15 个同类型的零件中有 2 个是次品，每次任取一个，共取 3 次，并且每次取出不再放回，若以 表示取出次品的个数，求 的期望 E和方差 V.解: 3P(=0)= ，P(=1)= ，521C35122CP(=2)= .3152的分布列为 Z 1 2P 352352351E=0 +1 +2 = ,3521V=(0- )2 +(1- )2 +(2- )2 = .17
