1、1.3.2 极值点知识梳理1.设函数 f(x)在 x0 附近有定义 ,_，则称 f(x0)是 f(x)的一个极大值;如果对于 x0附近的所有的点,都有_,就说 f(x0)是 f(x)的一个 _.2.函数 f(x)在 x0 点处的导数为 0,是 f(x)在 x0 处取得极值的 _条件.3.当函数 f(x)在 x0 处可导,判断 f(x0)为极值的方法是_;_.4.若 x0 为 f(x)的极小值点 ,则_, 导数为零的点_为极值点.知识导学1.函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解.y=f(x)的导数存在时,f(x 0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 处有极
2、值的必要条件 ,如果再加之 x0 两侧附近的导数的符号相反,才能确定在 x=x0 处取得极值;y=f(x) 在 x=x0 处没有导数时,x=x 0 也可能是 y=f(x)的极值点,确定 y=f(x)的疑点( 可能是极值点 )应分为 f(x)=0,f(x)不存在两类.2.判断可导函数极值的方法设函数 y=f(x)在点 x0 及其附近可导 ,且 f(x0)=0.(1)如果 f(x)的符号在点 x0 的左右由正变负,则 f(x0)为函数 f(x)的极大值.(2)如果 f(x)的符号在点 x0 的左右由负变正,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值.疑难突破导数为零的点一定是极值点吗?函数的单调性与函
3、数的极值有怎样的关系?剖析:确定函数的极值应从几何直观入手 ,导数为 0 的点不一定是极值点(如 y=x3,当 x=0 时,y=3x2=0)，但可导函数的极值点必须是导数为 0 的点.如果函数 f(x)在(a,b)内为单调函数,那么 f(x)在(a,b)内没有极值,即单调函数在单调开区间内没有极值点.典题精讲【例 1】 求函数 y=x4-2x2-1 的极值.思路分析:先求导数 f(x),再求方程 f(x)=0 的根,最后检查 f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值 ;如果左负右正, 那么 f(x)在这个根处取得极小值.解:y=4x 3-4x,令 y=0
4、,得 x1=-1,x2=0,x3=1.将 x，y 在相应区间上 y的符号关系列表如下：x (-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+)y - 0 + 0 - 0 +y 极小值-2 极大值-1 极小值-2 所以当 x=-1 时，函数有极小值-2，当 x=0 时，函数有极大值-1，当 x=-1 时，函数有极小值-2.绿色通道：使 y=0 的点未必是极值点,但可导函数的极值点处导数必为 0,极大(极小)值与最值是不同的概念,极大值不一定比极小值大.变式训练：求函数 y= 的极值.23)1(x思路分析:首先判断出函数的定义域 ,然后步骤同例 1 的解析.解:函数定义域为(-,1)(
5、1,+),y= ，32)(x令 y=0，得 x1=-1,x2=2.令 x 变化时 ,y,y 的变化情况如下表：x (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+)y + 0 - + 0 +y 83 3 故当 x=-1 时，y 极大值 = .【例 2】 求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=x2e-x;(3)f(x)= -2.1x思路分析:按照求极值的基本方法 ,首先从方程 f(x)=0 求出在函数 f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解:(1)函数定义域为 R.f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2
6、).令 f(x)=0,得 x=2.当 x2 或 x-2 时,f(x) 0,函数在(-,2)和(2,+)上是增函数;当-2x2 时,f(x) 0,函数在(-2,2)上是减函数.当 x=-2 时,函数有极大值 f(-2)=16,当 x=2 时,函数有极小值 f(2)=-16.(2)函数定义域为 R.f(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=2.当 x0 或 x2 时,f(x)0,函数 f(x)在(-,0) 和(2,+)上是减函数 ;当 0x2 时,f(x)0,函数 f(x)在(0,2)上是增函数.当 x=0 时,函数取得极小值 f(0)=0,当 x
7、=2 时,函数取得极大值 f(2)=4e-2.(3)函数的定义域为 R.f(x)= ,22)1()1(xx令 f(x)=0,得 x=1.当 x-1 或 x1 时,f(x) 0,函数 f(x)在(-,-1) 和(1,+)上是减函数;当-1x1 时,f(x) 0,函数 f(x)在(-1,1)上是增函数 .当 x=-1 时,函数取得极小值 f(-1)=-3,当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1.绿色通道：解答本题时,应注意 f(x0)=0,只是 f(x)在 x0 处有极值的必要条件,如果再加上 x0 附近导数的符号相反,才能断定函数在 x0 处取得极值,反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极
8、值点是学生经常出现的失误.变式训练：求函数 f(x)= 在 R 上的极值(a0).32)(a思路分析：按照求极值的基本方法，考虑函数的定义域，先从方程 f(x)=0 求出可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解:f(x)= ，令 f(x)=0,得 x=0.324ax此外该函数定义域为 R,而在 x=a 处不可导,因此列表时应将 x=a 点考虑进去.x 变化时,y、y 的变化情况如下表：x (-,-a) -a (-a,0) 0 (0,a) a (a,+)y - + 0 - +y 0 34a 0 由表知 f(x)在 x=a 处取得极小值 0，在 x=0 处取得极大值 .3
9、4【例 3】 求函数 y=2x+ 的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图象 .x8思路分析:利用函数求极值的步骤 :(1)先求函数的定义域;(2)求导数 f(x);(3)求方程 f(x)=0 的根;(4)检查 f(x)在方程根左右的值的符号 ,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值 .解:函数的定义域为 xR 且 x0.y= ,令 y=0，得 x=2.28当 x 变化时,y、y 的变化情况如下表:x (-,-2) -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 (2,+)y + 0 - - 0 +y -8 8 因此当 x=-2 时，y 极大
10、值 =-8.图 1-3-1当 x=2 时，由表易知 y=2x+ 的草图应为图 1-3-1，y 极小值 =8.x8绿色通道：(1)列表时应将定义域内的间断点( 如 x=0)考虑进去 .(2)极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区域讨论的 .(3)借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等 )研究函数图象是重要手段.问题探究问题 1:极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有什么关系?导思:可以通过导数的几何意义,直观地得出答案.探究:曲线在极值点处切线的斜率为 0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.问题 2:若函数 f(x)在 x0 处取得极值,则 f(x)在 x0 处一定可导吗?导思:导数为 0 的点可能为极值点 ,有些极值点不一定是可导的.探究:不一定,例如 f(x)=|x|在 x=0 处取得极小值,但 f(x)=|x|在 x=0 处不可导.
