1、11.1 平方根与立方根第 1 课时学习目标1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；3.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；4.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法学习过程一、创设情境问题 1 要剪出一块面积为 25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？问题 2 已知圆的面积是 16 cm2，求圆的半径长(学生探索，回答问题)二、探究归纳问题 1 解 设正方形纸片的边长为 xcm，依题意有： x225，求出满足
2、x225 的 x 值，就可得正方形纸片的边长因 5225，(-5) 225，故满足 x225 的 x 的值可以是 5，也可以是5，但正方形边长只能取正值所以 x5答 正方形纸片的边长为 5cm这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于 25问题 2 解 设圆的半径为 R cm，依题意有：R 2=16 ，即 R2=16，求出满足 R216 的 R 的值即可求出圆的半径因 4216，(4) 216，故满足 R216 的 R 的值为 4 或4，但圆的半径只能取正值所以数 R4答 圆的半径为 4cm这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于 16刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一
3、个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数用式子来表示就是如果 x2 a，求 x 的值概括 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根( square root)（也叫 a 的二次方根） 在上述例 1 问题中，因为 5225，所以 5 是 25 的一个平方根又因为(5) 25 225，所以5 也是 25 的一个平方根这就是说，25 的平方根有两个：5 与5 在上述例 2问题中，因为 4216，所以 4 是 16 的一个平方根又因为(4) 24 216，所以4 也是16 的一个平方根这就是说，16 的平方根有两个： 4 与4 所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的
4、平方根三、实践应用例 1 求 100 的平方根解 因为 102100，(-10) 2100，除了 10 和10 以外，任何数的平方都不等于 100，所以100 的平方根是 10 和10，也可以说，100 的平方根是10.学生试一试：(1) 144 的平方根是什么？(2) 0 的平方根是什么？(3) 254的平方根是什么？(4)4 有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答与同学交流，你发现了什么？1平方根的性质：问 正数的平方根是什么？答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数问 0 的平方根是什么？答 0 的平方根是 0，这是因为 020由
5、于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身问 负数有平方根吗？为什么？答 负数没有平方根由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根请同学概括数的平方根的性质答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根2.一个非负数 a 的平方根的表示法当 a0 时， a 的正的平方根用符号“ 2a”表示，其中 a 叫做被开方数，2 叫做根指数， a的负的平方根用符号“ 2”表示，这两个平方根合起来可以记作“ 2a”这里，符号“ 2”，读作“二次根号” ， “ ”读作“二次根号 a”当根指数是 2 时，通常将这个2 省略不写，
6、如 2a记作 ，读作“根号 a”； 2记作 ，读作“正负根号 a”一般地，如果 x a(a0)，那么 a 的平方根可以表示为 x= 例如，9 的平方根记作 9，读作正负根号 93.开平方求一个数 a(a0)的平方根的运算，叫做开平方开平方运算是已知指数和幂求底数平方与开平方互为逆运算一个数可以是正数、负数或者是 0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0 的平方是 0但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0 的平方根是 0负数没有平方根因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根例 2 将下列各
7、数开平方：(1)49， (2)1.69分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决解 (1)因为 49)7(2，所以 49 的平方根是 ，7，即 749(2) 因为 6.13.，所以 1.69 的平方根是 3.1，即 3.16.例 3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由(1)64；(2)0；(3)(4) 2分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或 0解 (1)因为64 是负数，所以64 没有平方根；(2)0 有一个平方根，它是 0；(3)因为 16)4(2，所以 2)4(有两个平方根，且 416)4(2四、交流反思1.一般地
8、，如果 x2 a，那么叫 x做 a 的平方根(也叫 a 的二次方根)用 a表示当 a0 时 a 有两个平方根，即 ， 表示 a 的正的平方根，- 表示 a 的负的平方根，它们互为相反数；当 a0 时， a 有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根2.求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决五、检测反馈1.说出下列各数的平方根(1)64； (2)0.25； (3) 6492.求下列各数的平方根(1) 81； (2) 0.36； (3) 3243. 平方根等于本身的数是 .4. 已知 16)2(x，y 是 2)5(的正的平方根，求代数式 yx的值.答案：1. (1)8； (2) 0.5； (3) 872. (1) ；(2) 0.6；(3) 18943. 04.x 2，y5， yx的值是 .218六、学习小结回忆一下：本节课你有什么收获？1. 平方根、开平方的定义；2. 平方根的表示；3. 平方根的性质；4. 求一个数的平方根.
