1、6.4 线性回归方程案例探究在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢？分析：凭我们的学习经验可知，物理成绩确实与数学成绩有一定的关系，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素.例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等.在实际问题中，变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示.例如，圆的面积 S 与半径 r之间就是确定性函数关系，可以用函数 S=r2 表示.一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达.
2、例如，人的体重与身高有关.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系.自学导引1在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性关系，另一类是相关关系.2自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.3请你说出确定性关系与相关关系的相同点和不同点.答案：相同点：均是指两个变量的关系.不同点：相关关系是一种非确定的关系.确定性关系是自变量与函数值之间的关系，可以用一个函数表示.这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.这种关系不能用一个确定的函数来表示.4你是否还能举出一些现实生活中存在的相关关
3、系的问题？答案：例如，商品销售收入与广告支出经费之间的关系；粮食产量与施肥量之间的关系；人体的脂肪含量与年龄之间的关系，等等.5将 n 个数据点（x i,yi） （i=1,2,n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.6 （1）当两个变量成正相关时，散点图有什么特点？（2）当两个变量成负相关时，散点图又有什么特点？答案：（1）散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域.（2）散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.7对于散点图可以作出如下判断：（1）当所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量之间具有函数关系；（2）当所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量
4、之间具有相关关系；（3）当所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间具有线性相关关系.8回归直线是怎样定义的？答案：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.疑难剖析【例 1】 下表是某地年降雨量与年平均气温的统计数据，判断两变量有相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？年平均气温（） 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05年降雨量（mm）748 542 507 813 574 701 432思路分析：用回归直线进行拟合两变量关系的一般步骤为：（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线 附
5、近；（2）如果散点在一条直线附近，以公式求出 a, b，并写出线性回归方程.解：以 x 轴为年平均气温，y 轴为年降雨量可得相应的散点图：因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没有必要用回归直线进行拟合，用公式求得的回归方程也是没有意义的.思维启示：要判断两个变量是否具有线性相关关系，可先作出散点图，再观察散点是否在一条直线附近，如果是，则二者具有线性相关关系；否则，二者不具有线性相关关系.思维陷阱：解此题的第（2）小问时不要盲目地去求回归方程.观察两相关变量得如下数据：x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7
6、 9求两变量间的回归方程.错解:求线性回归直线方程的步骤：第一步：列表 xi,yi,xiyi；第二步：计算 , ， ， ， ；ni12niy12niix1第三步：代入公式计算 b, a 的值；第四步：写出回归直线方程.列表：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1yi -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9xiyi 9 14 15 12 5 5 15 12 14 9计算得： =0, =0=110, =310, =110102ix102iy10iiyxb= 101)(02102xiiia= -b =0-1*0=0y故所求回归直线
7、方程为 =x.y正解：作两个变量的散点图（图略） ，从散点图中看出，点不在某条直线附近，分散得很开.因此，变量 x 和 y 不具有线性相关关系，也就不存在线性回归方程.【例 2】 某班学生每周用于数学学习的时间 x（单位：h）与数学成绩 y（单位：分）之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时，试预测该生数学成绩.思路分析：首先应该利用表中数据通过计算去判断数学学习的时间 x 与数学成绩 y 是否具有线性相关关系.若有，则可求出回归方程；然后在方程中令 x
8、=18，可求出该生数学成绩.解：因为学习时间与学习成绩之间具有线性相关关系.利用科学计算器计算到如下表所示的数据：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13yi 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59xiyi 2 208 1 185 2 231 1 691 1 204 517 1 660 1 088 1 207 767=17.4， =74.9=3 182， =58 375， =13 578102ix102iy102iiyx于是可得 b= 53.41)(02102xyiiia= -b =74.9-35317.4
9、13.5yx故所求回归直线方程为 y=3.53x+13.5当 x=18 时， =3.5318+13.5=77.0477故该同学预计可得 77 分左右.思维启示：两个有线性相关关系的变量间的关系可以用线性回归方程来表示，而对总体的预测可依据回归直线方程进行.【例 3】 一般说，一个人的身高越高，他的手就越大.为了调查这一问题，对 10 名高三男生的身高与右手一揸长测量得如下数据：（单位：cm）身高 168 170 171 172 174 176 178 178 180 181一揸长 19.0 20.0 21.0 21.5 21.0 22.0 24.0 23.0 22.5 23.0（1）依据上述数
10、据制作散点图，发现两者有何相关关系吗？（2）如果近似成线性关系，求线性回归方程.（3）如果一个学生身高 185 cm，估计他的右手一揸长.思路分析：首先作出散点图；利用散点图去判断两变量是否具有线性关系；若具有线性关系，再利用公式求出方程；最后利用方程去解答第三小问.解：（1）散点图如下：可见，身高与右手一揸长之间的总体趋势成一条直线，即他们线性相关.（2）设线性回归方程为 =bx+ay由上述数据计算可得 =174.8, =21.7x=305 730, =37 986102ix10iiyxb= =2102)(xyiii 30.8.17403529867a= -b =-31.264y方程为 =0
11、.303x-31.264.（3）当 x=185 时, =24.79.y思维启示:先作出散点图，若两变量具有线性关系，再利用公式求出方程.拓展迁移【拓展点 1】 如果你想作一个反对抽烟的电视公益广告的播放次数与看电视的中学生戒烟率的数据散点图，作为 x 轴的变量为_.答案：播放次数【拓展点 2】 有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据.第一列表示此种食品所含热量的百分比，第二列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价.品牌 所含热量的百分比 口味记录A 25 89B 34 89C 20 80D 19 78E 26 75F 20 71G
12、 19 65H 24 62I 19 60J 13 52（1）求出回归直线方程；（2）关于两个变量之间的关系，得出的结论是什么？答案：（1） =1.565x+37.827y（2）由回归方程知道，食品所含热量越大，口味记录越好，反之亦然.【拓展点 3】 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表：尿汞含量 x 2 4 6 8 10消光系数 y 64 138 205 285 360（1）作出散点图；（2）如果 y 与 x 之间具有线性相关关系，求回归方程；（3）估计尿汞含量为 9 毫克/升时消光系数.答案：（1）散点图略.（2）由散点图可知 y 与 x 线性相关.设回归方程为 =bx+Ay计算可得回归方程为 =36.95x-11.3（3）当 x=9 时， =36.959-11.3=321.25321y
