1、课后导练基础达标1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）由 1， 2，3， 4 构成的 2 个元素集合 五个队进行单循环比赛的分组情况 由1，2，3 组成两位数的不同方法数 由 1，2，3 组成无重复数字的两位数A. B. C. D.解析：由组合的定义可得是组合问题.答案：C2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中甲型与乙型电视机至少各有 1 台，则不同的取法共有（ ）A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种解析：甲型与乙型电视机至少各有 1 台，共有 - - =70.39C435答案：C3.男女学生共有 8 人，从男生中选 2 人，且从女生中选 1
2、 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有（ ）A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人C.3 人 D.4 人解析：设女生 x 人，则男生有（8-x）人， C1x=30,解得 x=2 或 3.28C答案：A4.计算 + + + =_.2C324210解析： = ,2原式= + + + +3245210C= + + + +4C256= +3102=165.答案：1655.8 人坐成一排，现要调换 3 人的位置，其余 5 人位置不动，共有_种换法.解析：先定出哪 3 人的位置调换，再定出这 3 人位置调换的方法，有 2=112（种）.38C答案：1126.马路上有编号为 1，2，3，10 的十只
3、路灯，为节约用电而又不影响照明，可以把其中三只路灯熄掉，但不能同时熄掉相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灯方法有多少种？解析：问题等价于七只亮着的路灯产生的 8 个空位中放入三只熄掉的路灯，故有=56（种）.38C7.男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人，选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男 3 名，女 2 名；（2）队长至少有 1 人参加；（3）至少有 1 名女运动员；（4）既要有队长，又要有女运动员.解：（1） =120;36C24（2）分为两类：仅 1 名队长参加和两人都参加： + =196；1483（3）无限制排列中排除无女运动员情况：
4、- =246；510C6（4）分三类：一、仅女队长： ；48C二、仅男队长： - ；485三、两名队长： ；3+ - + =191.48C4588.若 = + = ,nN*,求 n.n3n23nA解析：由已知得= + +5n435n23n所以 - = ,5C即 = ,4n23nA,1)()(= （n+3） （n+2 ）,4所以 n=2（n=-7 舍）.解得 m=2,所以 = =28.mC829.由正方体的 8 个顶点和中心可组成多少个四面体？解析：在正方体的顶点和中心共 9 个点中，其中仅四点共面的情况共 6 种，5 点共面的情况共 6 种，所以组成的四面体的个数为 -6-6 =90.49C5
5、10.在一次棋类比赛中，要进行单循环赛，其中有 3 人，他们各比赛了两场后，因故退出了比赛，因此这次比赛共进行了 50 场，问开始参赛的人有多少？解析：设 3 名选手之间比赛了 x 场，那么 3 名选手与其余选手比赛了 6-2x 场，其余的（n-3）名选手之间每两名选手恰好比赛 1 场，共比赛 场.因此比赛总场数为 +x+6-2x.23nC23nC则 +x+6-2x=50,即 （n-3） （n-4 ）+6-x=50.得（n-3） （ n-4）=88+2x,x N,且 0x3.当2nC2x=0 时，得 n2-7n-76=0,无正整数解；当 x=1 时，得 n2-7n-78=0,解得 n=13;当
6、 x=2 或 3，方程无正整数解.综合运用11同时满足下列两个条件的非空集合 S， （1）S 1,2,3,4,5;（2）若 aS,则 6-aS,那么S 的个数是（ ）A.4 B.5 C.7 D.31解析：由条件知，1、5 必须同时选或不选，2、4 同时被选或不选，故只需研究1，2，3有几个非空子集即可，则 + + =7.13C23答案：C12.一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球.（1）从中任取 4 个，使红球个数不比白球少，这样的取法有多少种？（2）若取一个红球记 2 分，一个白球记 1 分，从口袋中取 5 个球，使总分不小于 7 的取法有多少种？解析：（1）问题等价于红球至少取
7、 2 个，故有 + + =115（种）.4C316246（2）通过分析知红球不少于 2 个，故有 + + =186（种）.46413.如图，从一个 34 的方格中的一个顶点 A 到对顶点 B 的最短路线有几条？解析：从 A 到 B 的最短路线，均需走 7 步：包括横向的 4 步和纵向的 3 步，于是我们只要确定第 1，2，7 步哪些是横向的哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走，所以每一条从 A 到 B 的最短路线对应着从第 1，2，7 步取出 4 步（横向走）的一个组合，因从 A 到 B 的最短路线共有 = =35 条.47C3拓展探究14在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行
8、检查，现在从 98 件正品和 2 件次品共100 件产品中，任意抽出 3 件检查：（1）共有多少种不同的抽法？（2）恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）至少有一件是次品的抽法有多少种？解析：（1）所求不同的抽法数，即从 100 个不同元素中任取 3 个元素的组合数，共有= =161 700（种）.0C198（2）抽出的 3 件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：第一步 从 2 件次品中任取 1 件，有 种方法；12C第二步 从 98 件正品中任取 2 件，有 种方法.98根据分步乘法计数原理，不同的抽取方法共有 =2 =24 753=9 506（种）.12C9817（3）解法一：抽出的 3 件中至少有一件是次品这件事，分为两类：第一类 抽出的 3 件中有 1 件是次品的抽法，有 种；12C98第二类 抽出的 3 件中有 2 件是次品的抽法，有 种.根据分类加法计数原理，不同的抽法共有 + =9 506+98=9 604（种）.12C982198解法二：从 100 件产品中任取 3 件的抽法，有 种，其中抽出的 3 件中没有次品的抽法，310C有 种.398所以抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法，共有- =161 700-152 096=9 604（种）.310C98
