1、教材习题点拨1思考：二次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中奖概率的两倍吗？为什么？解答：不一定原因如下：用 A 表示事件“第 1 次抽奖抽到某一指定号码” ，B 表示事件“第 2 次抽奖抽到某一指定号码” ，则二次开奖至少中一次奖的概率为P(A )P( B)P(AB) ，而 P(A )P( AB)P(A)，P( B)P(AB) P(B)，并且 P(A)BP (B)，故 P(A )P( B)P( AB)P( A)P(B)P( AB)2P(A) P(AB)因此， “二次开奖至少中一次奖”的概率等于“一次开奖中奖概率”的两倍的充分必要条件是 P(AB)0.2？对比这个公式与表示二项式定理的公式，你能
2、看出它们之间的联系吗？解答：把 p 看做 a,1p 看做 b，则 (1p) nk 就是二项式定理的通项公式Ckn3思考：二项分布与两点分布有何关系？解答：两点分布是一种特殊的二项分布，即是 n1 的二项分布；二项分布可以看做是两点分布的一般形式练习 11解：设第 1 次抽到 A 的事件为 B，第 2 次抽到 A 的事件为 C，则第 1 次和第 2 次都抽到 A 的事件为 BC.方法 1：在第 1 次抽到 A 的条件下，扑克牌中仅剩下 51 张牌，其中有 3 张 A，所以在第 1 次抽到 A 的条件下第 2 次也抽到 A 的概率为 P(C|B) .3517方法 2：在第 1 次抽到 A 的条件下
3、第 2 次也抽到 A 的概率为 P(C|B) .4357nBC方法 3：在第 1 次抽到 A 的条件下第 2 次也抽到 A 的概率为 P(C|B) .24571PB2解：设第 1 次抽出次品的事件为 B，第 2 次抽出正品的事件为 C，则第 1 次抽出次品且第 2 次抽出正品的事件为 BC.在第 1 次抽出次品的条件下，剩下的 99 件产品中有 4 件次品，所以在第 1 次抽出次品的条件下第 2 次抽出正品的概率为 P(C|B) .953解：例 1：箱中 3 张奖券中只有 1 张能中奖，现分别由 3 人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的
4、概率，均为条件概率，它们都是 0.例 2：某班有 45 名同学，其中 20 名男生，25 名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛在第 1 名同学是女生的条件下，求第 2 名同学也是女生的概率练习 21解：利用古典概型计算概率的公式，可以求得 P(A) 0.5，P(B)0.5，P( C)0.5，P (AB)0.25，P(BC) 0.25，P(AC)0.25.可以验证： P(AB)P( A)P(B)，P(BC)P (B)P(C)，P( AC)P(A) P(C)所以根据事件相互独立的定义，有事件 A 与 B 相互独立，事件 B 与 C 相互独立，事件 A 与 C 相互独立2解：(1
5、)先摸出 1 个白球不放回的条件下，口袋中剩下 3 个球，它们中仅有 1 个白球，所以在先摸出 1 个白球不放回的条件下，再摸出 1 个白球的概率是 .(2)先摸出 1 个白球后放回的条件下，口袋中仍然有 4 个球，其中有 2 个白球，所以在先摸出 1 个白球后放回的条件下，再摸出 1 个白球的概率是 .3解：记在元旦期间“甲地降雨”为事件 A， “乙地降雨”为事件 B，事件 A 与事件B 相互独立，P( A)0.2，P(B) 0.3.(1)甲、乙两地都降雨的概率为P1P( AB)P (A)P(B)0.20.30.06.(2)甲、乙两地都不降雨的概率为(10.2)(10.3)0.56.2( )
6、=()(3)甲、乙两地至少有一个地方降雨的对立事件为甲、乙两地都不降雨，即P 0.56.( )AB所以所求概率为 P31P 10.560.44.( )AB4证明：因为 A(AB ) ，而事件 AB 与 互斥，利用概率的性质有 P(A)ABP (AB)P ，所以 P P( A)P(AB)又因为事件 A 与 B 相互独立，故P (A)P(A) P(B)P (A)1P( B)P(A)P( )由两个事件相互独立的定义知 A 与B相互独立，类似地，可以证明 与 B， 与 也都是相互独立的5解：例 1：同时掷甲、乙两枚骰子，事件 A 表示甲骰子出现的是 4 点，事件 B 表示乙骰子出现的是 4 点，则事件
7、 A 与事件 B 相互独立例 2：从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中有放回地依次任意摸出两个球，事件 A 表示第 1 次摸到红球，事件 B 表示第 2 次摸到白球，则事件 A 与事件 B 相互独立练习 31解：用 A 表示抽到的这件产品为合格品，A i表示这件产品在第 i 道工序中质量合格，i1,2,3,4,5.则 AA 1A 2A 3A 4A 5，P(A 1)0.96，P (A2)0.99，P( A3)0.98，P(A 4)0.97，P (A5)0.96，且 A1， A2，A 3，A 4 和 A5 相互独立所以 P(A)P (A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)0.960.9
8、90.980.970.960.867 3.2解：设 X 为正面向上的次数，则 XB .正面向上恰好出现 k 次的概率为,2P(Xk) ， k0,1，2，5，551Ck所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P 356123解：用事件 B 表示仅第 1 次未击中目标，后 3 次都击中目标，事件 Ai表示该射手第 i 次射击中击中目标，i1,2,3,4，则 B A2A3A4.因为 4 次射击可以看成 4 次独立重复1试验，因此 P(B)P( )P(A2)P(A3)P(A4)(10.9) 0.90.90.90.072 9.14解：例 1：某同学投篮中命中率为 0.6，他在 6 次投篮中命中的次
9、数 X 是一个随机变量，X B (6,0.6)例 2：某福利彩票的中奖概率为 p，某人一次买了 10 张，中奖的张数 X 是一个随机变量，X B(10， p)习题 2.2A 组1解：设 X 为在某段时间内灯泡能正常照明的盏数，则 XB(3,0.7) ，则恰好有 k 盏灯泡正常照明的概率为 P(Xk) 0.7k(10.7) 3k ，k0,1,2,3.所以所求概率为 P(X1)3C1P (X0)1 0.700.330.973.2解：(1)箱子中共有 4n1 个球，其中有白球 2n 个，设事件 B 表示摸到的 n 个球都是白球，利用古典概型概率公式得到 P(B) .41Cn(2)设事件 A 表示摸到
10、的 n 个球都是黑球，事件 C 表示摸到的 n 个球颜色相同，则CA B ，P (A) .214n又 A 与 B 互斥，所以 P(C)P(A) P(B) .214+n在已知 n 个球的颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率为P(B|C) .21CnPB3解：设有 3 个孩子的家庭中女孩子的个数为 XB(3,0.5)至少有 2 个是女孩等价于事件 X2，因此至少有 2 个是女孩的概率为P(X2)P(X 2) P(X3) .33211C+24证明：利用条件概率公式有 P(BC| A) .因为 B 和PACC 互斥，所以 BA 和 CA 也互斥利用概率的加法公式有 P(BACA)P(BA) P(CA)
11、因此，P( BC|A) P(B|A)P(C|A)B 组1解：每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看成是相互独立的，三局两胜制中，甲获胜包含两种情形：甲前两局胜；三局比赛结束后，甲胜甲获胜的概率为 P10.60.6( 0.60.4)0.6 0.360.2880.648.12C五局三胜制中，甲获胜包含三种情形：甲前三局胜；第四局比赛结束后甲胜；第五局比赛结束后，甲胜甲获胜的概率 P20.60.60.6( 0.620.4)0.6( 0.620.42)34C0.60.2160.259 20.207 360.682 56.可以看出采用 5 局 3 胜制对甲更有利，由此可以猜测“比赛的总局数
12、越多甲获胜的概率越大” ，由此可以看出为了使比赛公平，比赛的局数不能太少在这个实际问题背景中，比赛局数越少，对乙队越有利；比赛局数越多，对甲队越有利2解：设事件 A1 表示从甲箱子里摸出白球，事件 A2 表示从乙箱子里摸出白球因为从甲箱子里摸球的结果不会影响从乙箱子里摸球的结果，所以 A1 和 A2 是相互独立的P (获奖) P(A1A2)P(A 1)P(A2) .尽管两个箱子里装的白球比黑球多，3=03541但获奖的概率小于 0.5.原因是除了两个球全为白球外，还有可能两个球全为黑球或两个球中一个为白球另一个为黑球，两个球全为黑球的概率为 ，两个球中一个为21=0.54白球、另一个为黑球的概
13、率为 10.30.20.5，所以由两个箱子里装的白球比黑球多只能推出摸出的两个球全为白球的概率大于摸出的两个球全为黑球的概率，但这两个事件的和并不等于必然事件，所以不能推出获奖的概率大于 0.5.3解：(1)在有放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这 n 件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为 0.02.可以把 3 次抽取看成是 3 次独立重复试验，这样抽到的次品数XB(3 ，0.02)，恰好抽到 1 件次品的概率为 P(X1) 0.02(10.02)13C230.020.98 20.057 624.在无放回的方式抽取中，抽到的次品数 X 是随机变量，X 服从超几何分布，X 的分布与产品的总数 n
14、 有关，所以需要分 3 种情况分别计算：n500 时，产品的总数为 500 件，其中次品的件数为 5002%10，合格品的件数为 490，从 500 件产品中抽出 3 件，其中恰好抽到 1 件次品的概率为P(X1) .12049350489C304892! .57 35n5 000 时，产品的总数为 5 000 件，其中次品的件数为 5 0002%100，合格品的件数为 4 900，从 5 000 件产品中抽出 3 件，其中恰好抽到 1 件次品的概率为P(X1) .1204935C0489.07 64n50 000 时，产品的总数为 50 000 件，其中次品的件数为 50 0002%1 000，合格品的件数为 49 000，从 50 000 件产品中抽出 3 件，其中恰好抽到 1 件次品的概率为P(X1) .120493504980.57 62C(2)根据(1)的计算结果可以看出，当产品的总数很大时，超几何分布近似为二项分布这是可以理解的，当产品总数很大而抽出的产品较少时，每次抽出产品后，次品率近似看成不变这样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布
