1、1限时集训（十一）数列求和及综合应用基础过关1.已知数列 an 是首项为 a1,公比为 q 的等比数列, Sn为其前 n 项和 .(1)若 a2=2,且 a3是 S1,S3的等差中项,求数列 an的通项公式;(2)当 a1=1,q=2 时,令 bn=log4(Sn+1),求证:数列 bn是等差数列 .2.已知数列 an满足 a1+ a2+ a3+ an=n(nN *).13 15 12n-1(1)求数列 an的通项公式;(2)求数列 的前 60 项和 T60.2an+1+ an3.已知数列 an是等差数列,且 a2+a3=8,a5=3a2.(1)求数列 an的通项公式;(2)记 bn= ,设
2、bn的前 n 项和为 Sn,求最小的正整数 n,使得 Sn .2anan+1 201720184.已知数列 an满足 a1= ,an+1= (nN *).12 an2an+1(1)证明数列 是等差数列,并求 an的通项公式;1an(2)若数列 bn满足 bn= ,求数列 bn的前 n 项和 Sn.12nan能力提升5.在公比为 q 的等比数列 an中,已知 a1=16,且 a1,a2+2,a3 成等差数列 .(1)求 q,an;(2)若 q10 的正整数 n 的最小值 .26.已知数列 an是递增的等比数列, a1=1,a3=4,数列 bn满足 b1=2,bn+1-2bn=8an(nN *).
3、(1)求数列 an和 bn的通项公式;(2)设数列 cn满足 cn= ,且数列 cn的前 n 项和为 Tn,求使得 Tn 对任意 nN *都成4nbnbn+1 1am立的正整数 m 的最小值 .限时集训(十一)基础过关1.解:(1)由题意得 a2=2,2a3=S1+S3,从而有 a1q=2,2a1q2=a1+a1+a1q+a1q2,解得 或q=2,a1=1 q=-1,a1=-2,所以 an=2n-1或 an=2(-1)n.(2)证明:由题意得 Sn=2n-1,所以 bn=log4(Sn+1)= .n2当 n2 时,因为 bn-bn-1= - = ,n2n-12 12所以数列 bn是公差为 的等
4、差数列 .1232.解:(1) 数列 an满足 a1+ a2+ a3+ an-1+ an=n ,13 15 12n-3 12n-1 当 n2 时, a1+ a2+ a3+ an-1=n-1 ,13 15 12n-3由 - 得 an=1,所以 an=2n-1.12n-1当 n=1 时, a1=1 适合上式, a n=2n-1.(2)令 bn= ,则 bn= = - ,2an+1+ an 22n+1+ 2n-1 2n+1 2n-1T n=( - )+( - )+( - )= -1,3 1 5 3 2n+1 2n-1 2n+1T 60=10.3.解:(1)设等差数列 an的公差为 d,依题意有 解得
5、2a1+3d=8,a1+4d=3a1+3d, a1=1,d=2,从而数列 an的通项公式为 an=2n-1.(2)因为 bn= = - ,2anan+1 12n-1 12n+1所以 Sn= - + - + - =1- .1113 1315 12n-1 12n+1 12n+1令 1- ,解得 n1008.5,又 nN *,故取 n=1009,12n+120172018所以使得 Sn 的最小的正整数 n=1009.201720184.解:(1)证明: a n+1= , - =2,an2an+1 1an+11an 数列 是首项为 =2,公差为 2 的等差数列 .1an 1a1 =2+2(n-1)=2
6、n,1ana n= .12n4(2)b n= = ,2n2n n2n-1S n=b1+b2+bn=1+ + + ,22322 n2n-1Sn= + + + ,12 12222323 n2n两式相减得 Sn=1+ + + + - =2 1- - =2- ,12 12122123 12n-1n2n 12n n2n 2+n2nS n=4- .2+n2n-1能力提升5.解:(1)由题意得 2(a2+2)=a1+a3,即 2(16q+2)=16+16q2,整理得 4q2-8q+3=0,解得 q= 或 q= .12 32当 q= 时, an=25-n;12当 q= 时, an=16 n-1.32 32(2
7、)由(1)知若 q10,得 2n4,n2,(-12)2n 12 116 使得 a1-a2+a3-+(-1)2n-1a2n10 的正整数 n 的最小值为 3.6.解:(1) 数列 an是递增的等比数列, 其公比 q1,又 q2= =4,q= 2,a3a1a n=2n-1,b n+1-2bn=2n+2, - =2,bn+12n+1bn2n 数列 是首项为 =1,公差为 2 的等差数列,bn2n b12 =1+2(n-1)=2n-1,b n=2n(2n-1).bn2n(2)c n= = = - ,4nbnbn+1 12(2n+1)(2n-1)14 12n-1 12n+15T n= 1- + - + - = 1- ,14 131315 12n-1 12n+1 14 12n+1显然数列 Tn是递增数列, 当 n=1 时, Tn取得最小值 ,16要使得 Tn 对任意 nN *都成立,只需 ,即 ,1am 161am 16 12m-1又 m N *,m 4,故正整数 m 的最小值为 4.
