1、5 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想.【情感态度】通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神.【教学重点】根与系数的关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.一、情境导入,初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律.那么一元二次方程中是否也存在什么
2、规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味.【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望.二、思考探究，获取新知解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中 x1+x2，x 1x2 的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.来源:学优高考网 gkstk【归纳总结】一般地，对于关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) ，用求根公式求出它的两个根
3、 x1、x 2 ，由一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式知x1= ，x 2= ，能得出以下结果：24bac4bacx1+x2=- ，x 1x2= .【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.三、运用新知，深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积.（1）x 2-6x-15=0；（2）5x-1=4x 2；来源:学优高考网（3）x 2=4；（4）2x 2 =3x.2.已知关于 x 的方程 x2-2（k-1）x+k 2=0 有两个实数根 x1，x 2.（1）求 k 的取值范围；（2）若|x 1+x2|=x1x2-1，求 k 的值.
4、【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积.3.已知方程 5x2+kx-60 的一个根为 2，求它的另一个根及 k 的值；解：设方程的另一个根是 x1，那么 2x1= 65 x 1= 3又 x1+2= 5kk=-74.利用根与系数的关系，求一元二次方程 2x2+3x-1=0 的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.解：设方程的两个根分别为 x1，x 2，那么 x1+x2= ， 3x1x2= .（1） （x 1+x2） 2=x12+2x1x2+x22，x 12+x22=（ x1+x2） 2-2x1x2=13/4（2） = 3 12125.已知关于 x 的方程 x2-（k+1）x
5、+1/4k 2+1=0，且方程两实根的积为 5，求k 的值.解：方程两实根的积为 5 2212140kkx （ ） （ ）得 .34k当 k=4 时，方程两实根的积为 5.6.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（k-1）x+k 2-1=0 有两个不相等的实数根.（1）求实数 k 的取值范围；（2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由.解：（1）= 2（k-1） 2-4（k 2-1）=4k2-8k+4-4k2+4=-8k+8.来源:学优高考网 gkstk 原方程有两个不相等的实数根，-8k+80，解得 k1，即实数 k 的取值范围是 k1.来源:gkstk.
6、Com（2）假设 0 是方程的一个根，则代入得 02+2（k-1） 0+k 2-1 = 0，解得 k=-1 或 k=1（舍去）.即当 k=-1 时，0 就为原方程的一个根.此时，原方程变为 x2-4x = 0，解得 x1=0，x 2=4，所以它的另一个根是 4. 【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动，课堂小结来源:学优高考网不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值：（1）先化成一般形式，再确定 a,b,c.（2）当且仅当 b2-4ac0 时，才能应用根与系数的关系.（3）要注意符号：两个根的和是 前面有负号，两个根的积是 前面没有baca负号.让学生谈谈本节课的收获与体会，教师可适当引导和点拨.1.布置作业：教材“习题 2.8”中第 2 、3 题.2.完成创优作业中本课时“课时作业”部分.此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是 1 的方程入手，然后提出二次项系数不是 1 的方程，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数的关系，最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.
