1、福建省南平市 2018 届高三上学期第一次综合质量检查（2 月）数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 03,21,xAxByA，则 B（ ）A 0,3 B 2,5 C ,9 D 2,3 2.已知 i为虚数单位，若复数 z满足 3413izi，则 z（ ）A 25 B 425 C 25 D 45 3.等差数列 na的前 项和为 nS，若 7为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ）A 147 B 14a C 18a D 18a 4.已知点 ,Mxy是圆 2:0C
2、xy的内部任意一点，则点 M满足 yx的概率是（ ）A 4 B 4 C 2 D 24 5.已知 12,F是双曲线 210xyab的左、右焦点，点 P在双曲线上，若 1260FP，则 12FP的面积为（ ）A 83 B 63 C 43 D 23 6.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： sin150.28， sin7.5013)A12 B24
3、 C48 D967.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A 362 B 327 C 47 D 34728.直线 l与抛物线 24yx相交与 ,A两点，若 OAB( 是坐标原点），则 AOB面积的最小值为（ ）A32 B24 C16 D89.若 e是自然对数的底数，则（ ）A 1ln2 B 1ln2e C ln1l2e D ln21e 10.已知函数 fxR满足 4fxf，若函数 xy与 yfx图像的交点为1210,xyy，则10iiiy（ ）A10 B20 C D 20 11.已知数列 nb满足 12,4,b221sincosnnb，则该数列的前 23 项的和为（ ）A4
4、194 B4195 C2046 D204712.已知 ,6tR，且 5si30t， 518si30t，则 ln3cos（ ）A ln2 B ln3 C 5ln2 D 2ln3 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.21xa的展开式中含 2x的系数为 50，则 a的值为 14.已知 ,b，向量 ab在向量 b上的投影为 37，则 ,ab 15.已知实数 ,xy满足2051xy，求 2xyu的取值范围 16.在三棱锥 PABC中， 3AC, ,2PAB, P与平面 ABC所成角的余弦值为3，则三棱锥 外接球的表面积为 三、解答题 （本大题共 6 小
5、题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 ABC中, ,abc分别为角 ,ABC的对边，且 ,43Bc.（1）若 6，求 sin及 S；（2）若 ,DE在线段 上，且 ,2DED，求 A的长.18.如图，在三棱柱 1ABC中，平面 1AC平面 B， ,60CB， E为 AC的中点.（1）若 1BCA，求证： 1C平面 1EB； :（2）若 ，求二面角 A的余弦值.19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在 59,10范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在 71,89内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取 500 个
6、，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面 2列联表，并回答是否有 95%以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的 500 个桔柚直径的样本平均数 x(同一组数据用该区间的中点值作代表)：（3）经计算，甲基地的 500 个桔柚直径的样本方差 226.78s，乙基地的 500 个桔柚直径的样本方差227.8s，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径 X服从正态分布 2,N，其中 近似为样本平均数 x， 2近似为样本方差 2s.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于 86.78 亳米的桔柚在总体中所占的比
7、例.附： 22nadbcKd， nabcd.若 2,XN:，则 0.682PX.0.954P， 330.974.20.已知过点 2,1的椭圆2:1xyEab的离心率为 2.（1）求椭圆方程；（2）不过坐标原点 O的直线 l与椭圆 交于 ,AB两点(异于点 P，线段 AB的中点为 D,直线 O的斜率为1.记直线 ,PAB的斜率分别为 12,k.问 12是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.21.已知定义在区间 0,上的函数 ln1,0xft.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式 20fxe恒成立，求 t的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做
8、的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 1C的参数方程为 2cos4inxy（ 为参数).以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 2的极坐标方程为 3R.（1）求圆 1的极坐标方程和直线 的直角坐标方程；（2）设 C|与 2的交点为 ,PQ，求 1C的面积.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 13fxx.（1）求不等式 4f的解集；（2）若 23fxm对任意实数 x恒成立，求实数 m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBDC 6-10: BDCAD 11、12：AA二、填空题13. 1 14. 120 15. 164,3 16
9、.12 三、解答题（17）.解：（） 3B， 4c， 6b，在ABC 中，由正弦定理 Csini， 得 3624sini bBcC， 又 c，所以 ，则 C 为锐角，所以 36cosC， 则 BBAincosin)si(in6321362， 所以326sinAbcSABC（）设 xD，则 xEx,2，又B， 4c，在ABE 中，由余弦定理得 3os24162， 即 x8162，解得 （取正） ，则 BE， 432AB， ,所以 2EB， 在直角ADE 中， 132D （18） （）证明：因为 BA=BC， E 为 AC 的中点，所以 BE AC，又平面 A1ACC1 平面 ABC，平面 A1A
10、CC1平面 ABC=AC， BE平面 ABC，所以 BE 平面 A1ACC1， 又 A1C平面 A1ACC1，所以 BE A1C，又 BC1 A1C， BE BC1=B，所以 A1C 平面 C1EB （）连接 A1E， 因为 A1A=A1C，又 E 为 AC 的中点，所以 A1EAC,又平面 A1ACC1 平面 ABC，平面 A1ACC1平面 ABC=AC， A1E平面 A1ACC1，所以 A1E平面 ABC，以 E 点为原点，分别以射线 EB， EC， EA1 为x轴， y轴， z轴建立如图所示空间直角坐标系，设 2CB，则 21CA，所以 )3,0(1A， )0,(, )3,0(B， )0
11、,2(1CA 设平面 A1BC1 的一个法向量 11zyxn01CnB得 0231， 取 得 )1,0(n，设平面 C1EB 的一个法向量为 ),(2zyxn,012EnB得 032zy， 取 得 )2,30(n， 714,cos21n，故所求的二面角 A1BC1E 的余弦值为 （19）解：（）由以上统计数据填写 2列联表如下：841.3.5170981053421022 ）（K，甲基地 乙基地 合计优质品 420 390 810非优质品 80 110 190合计 500 500 1000所以,有 95%的把握认为：“ 两个基地采摘的水果直径有差异” （）甲基地水果的优质品率为 %84502，
12、甲基地水果的优质品率为 %785039，所以，甲基地水果的优质品率较高， 甲基地的 500 个桔柚直 )598321681207361( x80 9.4.520.876.1.42. （）由（）可知，甲基地的桔柚直径 )78.6,0(2NX2.73()8.607.6( PXP，15.2.1)(1)8所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于 86.78 毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为 %87.15.（20）解: （）由题意得 214ba,解得 3,62ba,则椭圆 E的方程为 .362yx()由题意可设直线 AB方程为 )0(mtyx,令 ),(),(21yxBA则 )2,(11D.直线 OD
13、的斜率为 1, yt21212,即 0)(12myt (1) tx62062)(22 mtyt )(则 ,2121 tyty代入(1)式得 2,0,)(2 ttm,因此, .3,16221yy 则 21k )2()(1212 myx22121 )()(4ymy21)4(3162m,即 2k为定值 .1（21）解：（） )1(21)(2 txtxxf 当 2t时, 0)(f.即 f是 ,上的增函数. 当 0t时, )1(2()txtxtf,令 0)(xf得 t2,则 )(xf的增区间为 ),2(t减区间为 ,0t （）由不等式 0)(xfe, 恒成立,得不等式 2ln)(xf, )0恒成立. 当
14、 2t时,由（）知 )(f是 ),上的增函数, l1)()(minff ,即当 2t时, 不等式ln)(xf, 0恒成立. 当 2t时, x),t, ;0(xf ),2(t0(xf.令 ut,则 12,0ut. )ln()l()()( 2min ufxf 要使不等式 2l, 0x恒成立,只要 2l)1n()(1uu. 令 ).,0(nl)( ug 1)(12)1( 222 uu.g是 ,0上的减函数,又 0g,)1()(u,则 u,即 12t,解得 t,故 .21t综合, 得 t,即 t的取值范围是 )., （22）解:（）直线 2C的直角坐标方程为 0yx 圆 1C的普通方程为 ,4)()(2yx因为 cos,iny,所以 1C的极坐标方程为016sin8co42 （）将 3代入 016sin8co2 ,得 062,解得 1, 2故 21,即 |PQ. 由于圆 C的半径为 ,所以 PC的面积为 （23）解：（） 3m 得 ，不合题意，舍去得 ， 10x得 ， 23x综上不等式的解集为)230(，（）由（）知 1,4,)(xxf，则 2)(minxf则 2|3|m，解得 25m即实数 的取值范围是 .,124)(x xf， ， ，142x1x1
