1、2018 届福建省厦门市高三上学期期末质检数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 10Ax， 1Bxy，则 ABI（ ）A 0x B C 0x D R2命题“ 320,xR”的否定是（ ）A 01x B 3200,1xxRC 32, D 3实数 xy满足 0，则（ ）A 1 B xy C 12xyD 2xy4若 ,mn是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若 ，则 B若 , ，则 nC若 ,m ，则 D若 , I，则 mn5已知实数 ,xy满足1,
2、20,y则目标函数 2zxy的最大值等于（ ）A-7 B 5 C2 D36如图所示，函数 3tan6yx的部分图象与坐标轴分别交于点 ,DEF，则 的面积等于（ ）A 4 B 2 C D 27已知正方形 D的边长为 2，对角线相交于点 O， P是线段 BC上一点，则 OPCur的最小值为（ ）A-2 B 1 C 14 D28函数 2cos,2xf的大致图象是（ ）A B C D9 BC中， 23， ,是双曲线 E的左、右焦点，点 在 E上，若 0BACurr，则E的离心率为（ ）A 51 B 1 C 312 D 31210习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图
3、， “大衍数列”：0,2,4,8,12来源于乾坤谱中对易传 “大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前 n项和的程序框图.执行该程序框图，输入 10m，则输出的 S（ ）A100 B140 C190 D25011若锐角 满足 2sinco，则函数 2sinfx的单调增区间为（ ）A 52,1kkZ B 5,1kkZC 7,2 D 7,212已知函数 2log,0,44xf若 1faf，则 a的取值范围是（ ）A 170,2U B 17,2UC ,42 D 0,42第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将
4、答案填在答题纸上）13复数 z满足 1i2z，则 z 14设等比数列 na满足 1， 356a，则 579a 15直线 ykx与抛物线 24yx交于 ,AB两点，若 163，则 k 16某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17如图，单位圆 O与 ,xy轴正半轴的交点分别为 ,AD，圆 O上的点 C在第一象限.（1）若点 C的坐标为 31,2，延长 C至点 B，使得 2，求 B的长；（2）圆 上的点 E在第二象限，若 23EO，求四边形 E面积的最大值.18如图，直角梯形 BDFE中， B ，
5、ED， 2F，等腰梯形 ABCD中，ABC， ， 24AC，且平面 平面 .（1）求证： 平面 ；（2）若 与平面 所成角为 ，求二面角 C的余弦值.19数列 na满足 1231naaL.（1）若数列 n为公差大于 0 的等差数列，求 n的通项公式；（2）若 1nnba，求数列 nb的前 2项和 2nS.20已知点 12,0F，圆 2:16Fxy，点 M是圆上一动点， 1F的垂直平分线与2M交于点 N.（1）求点 的轨迹方程；（2）设点 的轨迹为曲线 E，过点 0,1P且斜率不为 0 的直线 l与 E交于 ,AB两点，点 关于 y轴的对称点为 B，证明直线 A过定点，并求 AB面积的最大值.2
6、1已知函数 2xfxaeaR.（1）若 0a，函数 的极大值为 3，求实数 的值；（2）若对任意的 ， ln1fxb在 0,x上恒成立，求实数 b的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 2cos,inxy（ 为参数）.以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， ,AB为 上两点，且 OAB，设射线 :A，其中 02.（1）求曲线 的极坐标方程；（2）求 OA的最小值.23选修 4-5：不等式选讲函数 12fxxa.（1）当 a时，求证： 13f；（2）若 fx的
7、最小值为 2，求实数 的值.厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BCBDC 6-10:ACADC 11、12：BD二、填空题13 2 1428 15 3 16 103三、解答题17解：（1）由点 31,2C在单位圆上，可知 0AOC，由图象可得 60OD；在 CDB中， 1O， 120CDB， ；由余弦定理得 2 cos120O；解得 7；（2）设 62COD， 3DE1sinCS， 1sinES四边形 OD的面积 12sini2362EODCS 1313sincosinsico224i6 2， 23；当 6，即 时，四边形 OCDE的面
8、积 S的最大值为 32.18证明：（1）平面 BF平面 A， B，平面 BDFEI平面 ACBD BE平面 ACD，又 平面 ， BE，又 ，且 I， 平面 F.解：（2）设 ACBDOI，四边形 ABCD为等腰梯形， 2OC， 4ABD， 2O， 2， FE ，四边形 FE为平行四边形， B ，又 平面 ACD， O平面 ABCD， O为 与平面 所成的角， 4F，又 2B， 2FB以 为原点， A为 x轴， 为 y轴， OF为 z轴，建立空间直角坐标系，则 0,2B， 0,2D， 0,2F， 2,0C， 2,0AFur， Cur， A平面 E，平面 B的法向量为 1,，设平面 D的一个法向
9、量为 ,nxyzr，由 0,FnCur得 20,y令 2x得， ,1r，22cos, 3nAu.二面角 BDFC的余弦值为 23.19解：（1）由已知： 1231naaL当 n时， 12，即 12当 时， 123a-，得 236；即 236a设等差数列 na公差为 d，由 123，有 26d因为 0，解得 21ad，则 2nan（2）由已知： 1231naaL当 n时， 1231n-得：当 时， 1na，即 1na，结合 12a，得： *N1nnnb2121214nn234n nSbbL48L41n20解：（1）由已知得： 1NFM，所以 1224NFMNF又 12F，所以点 N的轨迹是以 1
10、2,F为焦点，长轴长等于 4 的椭圆，所以点 的轨迹方程是24xy.（2）设直线 :10ABk， 1,Axy， 2,Bxy，则 2,xy，联立直线 与椭圆得2xy，得 2140kx，21228,kx 12ABykx，所以直线 121:yABx，所以令 0，得 121xy，1221121xkkxx，所以直线 AB过定点 0,Q，所以 P的面积 122PBQAkSx21k，当且仅当 k时，等号成立.所以 PAB面积的最大值是 2.21解：（1）由题意， 21xxfxaeae2xea.（）当 0时， xfe，令 0fx，得 1； 0fx，得 1，所以 在 ,单调递增， ,单调递减.所以 fx的极大值
11、为 3fe，不合题意.（）当 0a时， 1a，令 fx，得 x； 0f，得 1xa或 ，所以 f在 1,a单调递增， ,1， ,单调递减.所以 fx的极大值为 23fe，得 a.综上所述 1.（2）令 2xxgaea， ,0，当 0,x时， 0，则 ln1bx对 ,恒成立等价于 0ln1gabx，即 xe，对 恒成立.（）当 0时， ,x， ln1bx， xe，此时 ln1xeb，不合题意.（）当 时，令 lxhxe， 0,，则 211xxbhxe，其中 xe， 0,，令 2,0xpb，则 h在区间 0,上单调递增， 时， 1pb，所以对 0,x， hx，从而 x在 ,上单调递增，所以对任意
12、， 0，即不等式 ln1xbe在 ,上恒成立. 0时，由 0pb， 10pbe及 px在区间 0,上单调递增，所以存在唯一的 0,1x使得 0px，且 0,x时， 0px.从而 ,时， h，所以 h在区间 上单调递减，则 0x时， x，即 ln1xbe，不符合题意.综上所述， 1b.22解：（1）将 1C的方程化为直角坐标方程为21xy，即21xy.将 cosx， siny代入可得 22cosin化简得 221i（2）根据题意：射线 OB的极坐标方程为 2或 .12sinOA， 2 221cos1sin则 1222sicosB22sincs2241sincos3，当且仅当 22i，即 4时，取得最小值 43.故 OAB的最小值为 3.23解：（1）依题意： 121fxx21xx21x，当且仅当 2x，即 4时，等号成立.（2）当 12a，即 时， 31,2,axfax则当 2ax时， min122aafxf，故 a.当 12a，即 时， 3,1,2,xafax则当 2ax时， min122aafxf，故 6a.当 1时，即 时， 3fx有最小值 0，不符合题意，舍去.
