1、湖南省郴州市第一中学 2018 届高三一月月考理科数学一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|log(4)Ax， |1Byx，则 AB（ ）A (4,5 B 5,8 C 5,8) D (4,5)2.已知复数 201z(i3)i)，则在复平面内，复数 z所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知 ,R，则“ 2()3kZ”是“ 13sinicos2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分也不必要条件4.九章算术一书中，第九章“勾股”中有如下问题
2、：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是， “今有直角三角形，短的直角边长为 8 步，长的直角边为 15 步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为（ ）A 320 B 310 C. 4 D 55.将函数 ()sin2)6fx的图像向左平移 3个单位后，得到函数 ()gx的图像，则函数 ()gx图像的一条对称轴方程可以是（ ）A 4 B x C. 6x D 36.如图所示，在 AC中， 2， AB， C， ABC，点 E是线段 AB的中点，则
3、CDE（ ）A 75 B 710 C. 95 D 9107.设 ,mn是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，则（ ）A若 ,mn，则 m B若 ，则 n C.“直线 与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线 m与平面 垂直”的充分不必要条件 D若 ,n，则 8.运行如图所示的程序框图，若输出的 S的值为 480，则判断框中可以填（ ）A 60i B 70i C. 80i D 90i9.已知函数 ()fx的图像与函数21()()axgR的图像关于 yx对称，若(343)ff，则 （ ）A-2 B2 C.-3 D310.如图，网络纸上小正方形的边长为 1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的
4、体积为（ ）A 32 B 643 C.16 D 16311.已知函数 ()fx2,01)2xf，则关于 x的方程 1()5fx在 2,上的根的个数为（ ）A3 B4 C.5 D612.已知双曲线2:1(0,)xyCab与直线 :30lxym交于 1(,)Mxy， 2(,)Ny，其中120,0,xy，若点 Q满足 OM（其中 O为坐标原点） ，且 30Q，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A B yx C. 2yx D 2yx二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知椭圆2:1(0)xCab的长轴长是短轴长的 35倍，且点 10(,)3在椭圆 C上，则椭圆 的标准方程为
5、14. 26(3)xy的展开式中，含 53xy项的系数为 15.已知实数 、 满足 2310xy，则 12x的取值范围为 16.已知 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，若 3，且 3costanaBbAC，则当的面积取最大值时， a 三、解答题 ：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 na的前 项和为 nS，且 0， 21nnSa.（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）若数列 nb满足 2nn，求数列 nb的前 项和 nT.18.已知三棱锥 ABCD如图所示，其中 90BADC， ADBC，二面角的大小为 90.（1 ）证明： ABDC；（2 ）若 E为线
6、段 的中点，且 1A， tan6CAD，求二面角 BADE的余弦值.19.在一次体能测试中，某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查，所得学生的测试成绩如下表所示：（1 ）将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中，并分别计算其平均数；（2 ）若在乙学校被抽取的 10 名学生中任选 3 人检测肺活量，求被抽到的 3 人中，至少 2 人成绩超过 80分的概率；（3 ）以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况，则若从该地区随机抽取 4 名学生，记测试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数为 X，求 的分布列及期望.20.已知抛物线 2:(0)Cxpy的焦点为 F.（1 ）若抛物线 的
7、焦点到准线的距离为 4，直线 :240lxy，求直线 l截抛物线 C所得的弦长；（2 ）过点 F的直线交抛物线 于 ,MN两点，过点 ,作抛物线的切线，两切线相交于点 P，若1,k分别表示直线 与直线 PF的斜率，且 123k，求 1k的值.21.已知函数 ()ln()fxaxR.（1 ）求函数 的单调区间；（2 ）探究：是否存在实数 ，使得 ()0fxa恒成立？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C的极坐标方程为 2cos()24；直线
8、:(0,)l R与曲线 C相交于MN、两点.以极点 O为原点，极轴为 x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1 ）求曲线 的参数方程；（2 ）记线段 MN的中点为 P，若 |O恒成立，求实数 的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲设函数 ()41)fxm， (,)x.（1 ）当 时，解不等式 |2f；（2 ）当 1,时，证明： |()4|15x.试卷答案一、选择题1-5:CCAAB 6-10:CDBDA 11、12：DB二、填空题13. 2195xy14.720 15. 7(,3,)6 16. 23三、解答题17.解：（1）因为 2nnSa，故 24(1)nSa，当 n时， 14()a， 1
9、，当 2n时， 214()nSa，又 24(1)nSa，两式相减得： 21n， 1(2)0nna，由 0na， 1n，所以数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，即 2（2 ） ()2nnb， 135T (21)n；23n 12n；-得28(1)1nnT 18()2nnn 162()63n， 3nn.18.（1）证明：因为二面角 ABDC的大小为 90，故平面 ABD平面 C，又平面 ABD平面 ， ，故 ，所以 平面 ABD，因为 平面 ，所以 .（2 ）解：设 (0)x，则 21Bx.由（1）可知， tan6CAD，因为 A，所以 6CD.因为 9BD， ，所以 :，所以 B， 261
10、x.解得 2x，故 2A， 3D， 23CBD.如图所示，建立空间直角坐标系 xyz，则 (0,)， (,0)， (,60)C，36(,0)2E， 36(,)，所以 (,)D， (,0)3DA.由（1）知平面 B的法向量 ,1n.设平面 ADE的法向量 (,)mxyz，由 0DEA，得3602xyz.令 6x，得 3y， z，所以 (6,3)m.所以 1cos,2|nm.由图可知二面角 BADE的平面角为锐角，故二面角 BADE的余弦值为 12.19.解：（1）茎叶图如下所示：故甲学校学生成绩的平均数为 1(670275980290)7，乙学校学生成绩的平均数为 930118；（2 ）记至少
11、2 人成绩超过 80 分为事件 A，则2346410()CP；（3 ）依题意， X的可能取值为 0，1，2，3 ，4，则 (,)5XB:，48(0)(56P， 326()()5P，2243C)， 349C(，1()(X；故 的分布列为28()45EX.20.解：（1）依题意， 4p，注意到直线 l过抛物线 C的焦点 (0,2)，联立284xy，解得 260y；由抛物线定义可知，所求弦长为 41（2 ）设 1(,)Mxy， 2(,)Ny，易知 (,)2pF，联立 12pkxy，消去 得 210xk， 121xpk， 2xp，由 2p得 ，过点 ,MN的切线方程分别为 211y， 221yx，联立
12、21122xyp得点 P的坐标为 1(,)2pk，所以 2110kk， 132k， 1或 2；所以直线 MN的斜率为 或 1.21.解：（1）依题意， ()lnfxa，令 ()0fx，解得 ln1xa，故 1axe，故当 1(0,)axe时，函数 单调递减，当 1,ae时，函数 ()f单调递增；故函数 f的单调减区间为 1(0,)ae，单调增区间为 ()（2 ） ()lngxx，其中 x，由题意知 在 (,)上恒成立， ()ln1gxa，由（1）可知， 1minaxe极 小 11()aee， 10ae，记 1()aG，则 1()aG，令 0G，得 .当 a变化时， ()Ga， 的变化情况列表如
13、下： max()()(1)0GG极 大 ，故 10ae，当且仅当 1a时取等号，又 10e，从而得到 a.22.解：（1）因为 2cos()24，故 2cos2in，因为 cosinxy，故所求方程为 21(xy，故曲线 C的参数方程为 2cosiny（ 为参数）（2 ）联立 和 2 0，得 2(cosin)20，设 1(,)M、 2(,)N，则 12(sico)i4，由 |OP，得 |n|24OP，当 34时， |取最大值 ，故实数 的取值范围为 ,).23.（1）解：依题意， |()|2|fx1342xx，因为 (,)x，故所求不等式的解集为 1(,)；（2 ）证明：要证：2|()4|5fx，即证： 2|4|5fx，即证： 2|4(1)|m，即证： 2|(1)|m，因为 2|()|xx|， ,x， 1,，所以 2|()|22|x215(|)4x，当 1|x且 m时取“ ”，故命题得证.
