1、重庆市第十一中学校高 2017 级 12 月月考数学( 文)试题一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=3，log 2（a 2+3a），B=a，b，若 AB=2，则实数 a的值等于（ ） A1 或 -4 B1 C4 D-1 或 42.曲线 2xy在点 )3,(处切线的倾斜角是（ ） A1 B. 4 C. 4 D. 43. 数列a n的首项 a1=2，且（n+1）a n=nan+1，则 a3的值为（ ）A5 B6 C7 D8 4若，b=， ，则( )Abca Bbac Cabc Dcab5过圆 C：x 2+（
2、y1） 2=4的圆心，且与直线 l：3x+2y+1=0 垂直的直线方程是（ ）A2x3y+3=0 B2x3y3=0 C2x+3y+3=0 D2x+3y3=06已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中 位数相同，平均数也相同，则图中的 m、n 的比值=（ ）A1 B C D7 . 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且 ， （ ） A若，则 B若，则C若，则 D若，则8函数的图象向左平移（0）个单位后关于原点对称，则的最小值为（ ）A B C D9已知各项不为 0的等差数列a n满足 a42a 72+3a8=0，数列b n是等比数列，且 b7=a7，则b2b8b11等于（ ）A1 B2 C4
3、 D810.在正方体 ABCDA1B1C1D1的侧面 AA1BB1内有一动点 P到直线 A1B1与直线 BC的距离相等，则动点 P所在曲线的形状为( )甲 乙79 m23n2 4 811执行如图所示的程序框图，则输出的“S+n”的值为（ ）A19 B20 C21 D18 12 点 (,0)Fc为双曲线 21(0,)xyabb的右焦点，点 P为双曲线左支上一点，线段 PF与圆224bxy相切于点 Q，且 1=2PF，则双曲线的离心率等于（ ）A B 3 C 5 D2二、填空题：本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卷的相应位置。13复数（其中 i 为虚数单位）的实部与虚
4、部相等，则实数 a= 14函数 f（x）=x 3+sinx+2016（x R） ，若 f（a） =2015，则 f（a）= _15设变量 x，y 满足约束条件，则的最小值为_ 16课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1） ，即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图
5、2） ，其体积等于_否n=n+1输出“S+n”结束开始S0? 是n=1,S=100三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17如图，在ABC 中， AB=AC=3，BC=2 ，B 的角平分线交过点 A 且与 BC 平行的直线于 D，AC 与 BD 交于点 O（）求OAB 与OBC 的面积之比； （）求sinBAD 的值18学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取 100 名学生进行统计分析，抽出的 100 名学生的数学、语文成绩如表：语文优 良 及格优 8 m 9良 9 n 11数学 及格 8 9 11（）将学生编号为 000，001，002，499，500，
6、若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的 5 个人的编号（下面是摘自随机数表的第 4第 7 行） ；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3016 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 5
7、5 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （）若数学成绩优秀率为 35%，求 m，n 的值；()在语文成绩为良的学生中，已知 m13，n 11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率19如图已知三棱锥 PABC，PA平面ABC，AB=AC=PA=2 ，BAC=90 ，D，E 分别为 AB，PC 的中点，BF=2FC（I）求证： PD平面 AEF； （）求几何体 PAEF 的体积 FDEAC BPDOABC20已知 F 是抛物线 C： y2=2px（p0）的焦点， M 过坐标原点和 F 点，且圆心 M 到抛物线 C 的准线距离为 （）求
8、抛物线 C 的方程；（）已知抛物线 C 上的点 N（s，4） ，过 N 作抛物线 C 的两条互相垂直的弦 NA 和 NB，判断直线 AB 是否过定点？并说明理由21已知函数（a R） （）当时，求的单调区间（）当 x1，x 2（0，+）时，不等式恒成立，求 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 是参数，m 是常数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 极坐标方程为 =asin（+） ，点 M 的极坐标为（4， ） ，且点 M
9、 在曲线 C 上（I）求 a 的值及曲线 C 直角坐标方程；（II ）若点 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上，求 |MN|的长选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）=|x+a |+|x2|（I）当 a=3 时，求不等式的解集；（II）若的解集包含 1，2，求 a 的取值范围重庆十一中高 2017 级高三 12 月月考数学(文)答案命题人：刘爱莲 审题人：刘翠碧一、选择题：1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、D 7、D 8、B 9、D 10、C 11、A12、C二、填空题：13若复数 （其中 i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 a= 1 14函数 f（x）=
10、x 3+sinx+2016（x R） ，若 f（a ）=2015 ，则 f（a）=_2017_15设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=（ ） 2xy 的最小值为_ _16课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1） ，即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2）
11、，其体积等于_解：椭圆的长半轴为 5，短半轴为 2，现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积 V=2（V 圆柱 V 圆锥 ）=2（ 225 ）= 故答案为： 三、解答题17如图，在ABC 中，AB=AC=3 ，BC=2，B 的角平分线交过点 A 且与 BC 平行的直线于 D，AC 与 BD交于点 O（1）求OAB 与OBC 的面积之比；（2）求 sinBAD 的值【考点】余弦定理的应用【分析】 （1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值；（2）由等腰三角形的定义和平行线
12、的性质，结合诱导公式可得 sinBAD=sinC ，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值【解答】解：（1）BD 为ABC 的平分线，由角平分线定理知： ， 2即有 ； 5 （2）由 ADBC 且 AB=AC，可得ABC=ACB=CAD ，即有 sinBAD=sin（BAC+CAD）=sin（BAC+ABC）=sinC，在ABC 中，AB=AC=3 ，BC=2， 7可得 ， 9即有 sinC= = ，故 sinBAD 的值为 1218某校高三文科 500 名学生参加了 1 月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取 100 名学生进行统计分析，抽出
13、的 100 名学生的数学、语文成绩如表：语文优 良 及格优 8 m 9良 9 n 11数学及格 8 9 11（1）将学生编号为 000，001，002，499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的 5 个人的编号（下面是摘自随机数表的第 4第 7 行） ；12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 7655 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 3016 22 77 94
14、39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （2）若数学成绩优秀率为 35%，求 m，n 的值；（3）在语文成绩为良的学生中，已知 m13，n11，求数学成绩“优” 比良的人数少的概率【解答】解：（1）由随机数表法得到 5 个人的编号依次为：385，482，462，231，309 3（2）由 =0.35，得 m=18， 5因为 8+9+8+18+n+9+9+11+11
15、=100，得 n=17 7（3）由题意 m+n=35，且 m13，n11，所以满足条件的（m，n）有：（13，22） 、 （14，21） 、 （15，20） 、 （16，19） 、 （17，18） 、 （18，17） 、（19，16） 、 （20，15） 、 （21，14） 、 （22，13） 、 （23，12） 、 （24，11）共 12 种， 10且每组出现都是等可能的记：“ 数学成绩“ 优”比“良” 的人数少”为事件 M，则事件 M 包含的基本事件有（13，22） 、 （14，21） 、 （15，20） 、 （16，19） 、 （17，18）共 5 种，所以P（M） = 1219如图已知
16、三棱锥 PABC，PA 平面 ABC，AB=AC=PA=2，BAC=90，D，E 分别为 AB，PC 的中点，BF=2FC（I）求证：PD平面 AEF；（）求几何体 PAEF 的体积【解答】 （）证明：如图，在线段 BC 上，取 BG=GF，连接 PG，DG，在ABF 中， BG=GF，AD=DB，GDAF， 3在PCG 中， CF=GF ，PE=EC，EF PG ，又 PGGG，平面 PGD平面 AEF，则 PD平面 AEF； 6（）解：PA平面 ABC，AB=AC=PA=2，BAC=90， = ， 9又 E 为 PC 的中点， 1220已知 F 是抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点，
17、M 过坐标原点和 F 点，且圆心 M 到抛物线 C 的准线距离为（）求抛物线 C 的方程；（）已知抛物线 C 上的点 N（s，4） ，过 N 作抛物线 C 的两条互相垂直的弦 NA 和 NB，判断直线 AB 是否过定点？并说明理由【解答】解：（I）抛物线的焦点为 F（ ，0） ，准线方程为 x= M 过坐标原点和 F 点，M 在直线 x= 上M 到抛物线的准线的距离 d= ，解得 p=2抛物线方程为 y2=4x 5（II）把 y=4 代入抛物线方程得 x=4即 N（4，4） 设 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） kNA= = ，k NB= = ，k AB= = 7直线 NA 和直线 NB
18、互相垂直， ，即 y1y2=4（y 1+y2）32直线 AB 的方程为 yy 1= （x ） ，即 y= + = 4，9即 AB 方程为 y+4= （x8） 直线 AB 过定点（8，4） 1220已知函数 （a R） （）若函数 f（x）为单调递减函数，求实数 a 的取值范围；（）当 x1，x 2（0，+）时，不等式 恒成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （）略 4（）问题转化为 h（x）=xf（x）在（0，+）递减，求出 h（x）的导数，得到 a， （x0） ，令 m（x） = ， （x0） ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可【
19、解答】 （）当 x1，x 2（0 ，+ ）时，不等式 恒成立，即x 1f（x 1）x 2f（x 2）（x 1x 2）0 在（0，+）恒成立， 8即 h（x）=xf（x）在（0，+）递减，而 h（x）=ax 2+2xlnxa，h（x）=2（ax+1+lnx） ，由 h（x）0 得：ax +1+lnx0，即 a ， （x0） ， 10令 m（x）= ， （x0） ，m（x）= ，令 m（x）0，解得：x1 ，令 m（x）0，解得：0 x1，m（x）在（0，1）递减，在（ 1，+ ）递增，m（x） min=m（1）= 1，a1 12选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知在直角坐标系 xOy 中，直
20、线 l 的参数方程是 （t 是参数，m 是常数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 极坐标方程为 =asin（+ ） ，点 M 的极坐标为（4， ） ，且点 M 在曲线 C 上（I）求 a 的值及曲线 C 直角坐标方程；（II ）若点 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上，求|MN|的长【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （I）将 M 的极坐标代入曲线 C 的极坐标方程，可得 a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=cos，y=sin ，可得曲线 C 直角坐标方程；（II ）求得曲线 C 表示的圆的圆心和半径，由点
21、 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上，可得直线 l 经过圆心，求得 m，进而得到直线 l 的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得 M 到直线 l 的距离，进而得到所求 MN 的长【解答】解：（I）将点 M 的极坐标（ 4， ）代入曲线 C 极坐标方程 =asin（+ ） ，可得 4=asin（ + ） ，解得 a=4， 2由 =4sin（+ ）即 =4（ sin+ cos） ，即有 2=2sin+2 cos，即为 x2+y22 x2y=0，即曲线 C：（x ） 2+（y 1） 2=4； 5（II ）曲线 C：（x ） 2+（y1） 2=4 为圆心 C（ ，1） ，半径为 2，则点
22、 M 关于直线 l 的对称点 N 在曲线 C 上，直线 l 过圆 C 的圆心，由 ，可得 m=2，t= ，这时直线 l： ，消去 t，可得 x+ y2 =0， 8 点 M 的极坐标为（4， ） ，可得 M（2 ，2） ，即有 M 到直线 l 的距离为 d= = ，可得|MN|的长为 2 10选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x+a |+|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若 f（x）|x4|的解集包含 1，2，求 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【分析】 （1）不等式等价于 ，或 ，或 ，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求（2）原命题等价于2xa2x 在1，2上恒成立，由此求得求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x）3 即|x3|+|x 2|3，即 ，或，或 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4 把、的解集取并集可得不等式的解集为 x|x1 或 x4 5（2）原命题即 f（x）|x 4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x 在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa 2x 在1，2上恒成立故当 1x2 时，2x 的最大值为21=3，2x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为3，0 10
