1、2017 届重庆市第一中学高三（上）期中数学（文）试题一、选择题1已知 ，则复数 （ ）2zizA B C D3i113i3i【答案】B【解析】试题分析： ，所以 ，故选 B.2zii1zi【考点】复数的运算.2设全集 是实数集 ， 与 都是 的子集IR|3Mx|(3)0NxI（如图所示） ，则阴影部分所表示的集合为（ ）A B |13x|13xC D|【答案】B【解析】试题分析：集合 ，图中阴影部分表示 ，13NxUCMNI，所以 .3IMxICMx【考点】集合的运算.3已知直线方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）cos0in3xyA B 或 C D 或60 03【答案】C【解析】试题分析：由直
2、线方程可知直线的斜率为 ，根据cosct30inko诱导公式 ，所以直线的倾斜角为 ，故选cot360cot60a3kC.【考点】直线的斜率与倾斜角.4函数 的图象关于（ ）2()sinfxxA坐标原点对称 B直线 对称 yC 轴对称 D直线 对称y【答案】C【解析】试题分析：函数 的定义域为 ，2sinfxxR，所以函数 为偶函数，图22sinsinfxxxfxfx象关于 轴对称，故选 C.y【考点】函数的奇偶性.5点 关于直线 对称的点坐标是（ ）(1,2)1xyA B 33,2C D,【答案】A【解析】试题分析：由于直线 的斜率为 ，所以点 关于直线1xy1k,2的对称点为 ，故选 A.
3、1xy3,2【考点】点关于直线的对称.6已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A B C D255325235【答案】D【解析】试题分析：根据三视图可知，几何体是一条侧棱垂直于底面的四棱锥，底面是边长为 的正方形，如下图所示，该几何体的四个侧面均为直角三角形，侧面积1，底面积 ，所以该几何体的表面积为=2(52)=+5S侧 =1S底，故选 D.3【考点】三视图与表面积.【易错点睛】本题考查三视图与表面积，首先应根据三视图还原几何体，需要一定的空间想象能力，另外解本题时，也可以将几何体置于正方体中，这样便于理解、观察和计算.根据三视图求表面积一定要弄清点、线、面的平行和垂直关系，能
4、根据三视图中的数据找出直观图中的数据，从而进行求解，考查学生空间想象能力和计算能力.7已知函数 ， ， 的零点依次为 ，()3xf3()logx3()loghxa， ，则（ ）bcA B C Dabcabac【答案】B【解析】试题分析：令 得 ，令 得 ，令0fx3x0gx3logx得 ，在同一坐标系中分别画出 ， ， ，如下图0hx1yy所示，由图象可知，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，所以 ，故选 B.AaBbac【考点】函数的零点.8重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1 ）不超过 3 千米的里程收费 10 元；（2 ）超过 3 千米的里程每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若
5、其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费） ；当车程超过 3 千米时，另收燃油附加费 1 元相应系统收费的程序框图如图所示，其中 （单位：千米）为行驶里程，用 表示不大于 的最大整数，则图中处应填xxx（ ）A 124yB 125yxC 4D 125yx【答案】B【解析】试题分析：当 时，依题意应收费 元，选项 B 符合，故选 B.3.4x1y【考点】1、程序框图；2、取整函数；3、函数的实际应用.9若不等式组 表示的平面区域经过所有四个象限，则实数 的取1,20,yx 值范围是（ ）A B C D(,4)1,2,4(2,)【答案】D【解析】试题分析：画出不
6、等式组表示的平面区域如下图中的阴影区域，由图可知，若平面区域经过四个象限，则应满足 ，所以 ，故选 D.0【考点】简单的线性规划.10已知在 中， ， ， ， 是线段 上的点，ABC906BC8APAB则 到 ， 的距离的乘积的最大值为（ ）PA12 B8 C D3683【答案】A【解析】试题分析：设点 到 的距离为 ，到 的距离为 ，由于 为直PA1hB2hABC角三角形，所以根据等面积法有 ，即12122ACBSBChA，所以有 ，则 ，当且仅当1234h11243hh，即 ， 时，等号成立，故选 A.1【考点】均值定理.11当曲线 与直线 有两个相异的交点时，实数 的24yx240kyk
7、取值范围是（ ）A B 3(0,)53(,1C D14)4【答案】C【解析】试题分析：曲线 表示的曲线为半圆，如图所示，直线2yx可化为 ，过定点 ，若直线与曲线有两个240kxy4k2,4相异交点，如图，根据直线与圆的位置关系可以求出斜率 ，故选 C.31k【考点】直线与圆的位置关系.【思路点晴】首先分析曲线表示的是以 为圆心， 为半径的半圆，直线表示的0,2是过定点 的直线，因此问题转化为过定点 的直线与半圆有两个公共2,4 ,4点，根据图形，应先求出在第四象限相切时直线的斜率，然后逆时针转动直线到过点时为另一个临界值，就可以求出斜率的取值范围，本题考查数形结合思想.,012已知函数 （
8、， ） ，若对任意 都有2()3lnfxaxb0R0x成立，则（ ）()fxA Bln1abl1C Dnab【答案】D【解析】试题分析：若对任意 都有 成立，则说明函数在 时取0x3fxf3x得最小值.对函数 求导得 ，则应满足 ，即fx32fxaxb30f，构造函数 ，则61baln1ln62ga，当 时， ，函数 递增，当6gx (0,)60gga时， ，函数 递减，所以当 时，函数 取得最大值(,)66为 ，所以 恒成立，即 ，1ln1laln2恒成立，故选 D.lab【考点】函数与导数.【方法点晴】根据连续函数 满足 可知，函数在 时取得最小值，fx3ff3x经分析 ，所以可以得到 .
9、观察选项分析可知母的是想比较 与30f61balna的大小关系，因此想到的是构造函数 ，1bln1l62gb从而求出 的最大值小于 ，所以 恒成立，即 恒成立，本ga0la题考查利用导数研究函数的最值.二、填空题13已知某长方体的长宽高分别为 2,1,2，则该长方体外接球的体积为 【答案】 92【解析】试题分析：长方体体对角线 ，其外接球直径 等于长2213l2R方体体对角线，所以 ，则外接球体积为 .32R49VR【考点】长方体的外接球.14若函数 在 上是减函数，则实数 取值范围是 12(log)xyaa【答案】 【解析】试题分析： ，所以 .120loga12a【考点】1、指数函数单调性
10、；2、对数不等式.15圆锥的侧面积与过轴的截面积之比为 ，则母线与轴的夹角大小为 【答案】 3【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 ，母线为 ，高为 ，根据已知条件rlh，所以 ，设母线与轴的夹角为 ，则 ，所以21rlh 2lh1cos2l.3【考点】圆锥的轴截面.【方法点晴】圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的底边长为底面圆的直径，等腰三角形的高为圆锥的高，则可以列出侧面积与轴截面面积比，于是得到 ，在2lh轴截面的直角三角形中，母线与轴的夹角的余弦值等于 ，即可以得到夹角的大小.本hl题考查立体图形与平面图形直角的关系.16已知函数 如果对任意的 ，定义2(1),01,)xf*nN，例如
11、： ，那么 的值为 2()()fxf2016()f【答案】 2【解析】试题分析：分段函数 的图象如下图所示，由图可知，函数 的值域f fx为 ， ， ， ，0,1f20322ff，按照上面的规律， .4f 16【考点】函数的周期性.【方法点晴】函数的性质是考查的热点，以单调性、奇偶性、对称性、周期性为主，本题重点考查函数的周期性，通过题中条件分析、转化可以得出函数的周期 ，所3T以可以求出 的值.本题考查新定义问题、考查化归转化能力在解题中的应用.2016f三、解答题17等差数列 的前 项和为 ，已知 ， 为整数，且 nanS12a3,5a（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和
12、21nbanbnT【答案】 （1） ；（2） .n521()3n【解析】试题分析：（1）设等差数列公差为 ，由于 且 为整数，所以公差d1a2为整数，则 ，所以 ，则 ，通项公式d325d12d1；（2） ，则1nan 23nnba，所以数列 前 项和()23nb11145621TnL.)()32nn试题解析：（1）由 ， 为整数知， ， 的通项公式为 1a34an 1na（2） ，1()()32nbn于是 12 52()231()3nn nTbn【考点】1、等差数列；2、数列求和.18在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，ABCABCabc5osA10sinisinsin5a
13、bca（1）求 的值；（2）设 ，求 的面积 0ABCS【答案】 （1） ；（2） .460【解析】试题分析：（1）根据正弦定理变形，可以将已知条件转化为 ，所以根据余1sinisinsin5aAbBcaB22105abcab弦定理可得 ，由于 均为三角形内角，且 ，220obC,AC5cosA，所以 ， ，则 ，10cs5sinA31sin2cos()BC因为 ，所以 ；（2）根据正弦定理 得(,)B4BinibaA，所以 的面积为510sin102bAaABC.1310sin462SabC试题解析：（1）由已知可得 ，225abcab 2210cosabcC ， ， ， ，A(0,)3si
14、nC25sinA，510cos()()B ， 0,4（2） ， ，102sinibcBC310265c15i66SA【考点】1、同角三角函数基本关系式；2、三角恒等变换；3、正、余弦定理；4、三角形面积公式.19如图，在多面体 中， 是等边三角形， 是等腰直角三角BCDMCMD形， ，平面 平面 ， 平面 ，点 为 的中点，90BABO连接 O（1）求证： 平面 ；/OMABD（2）若 ，求三棱锥 的体积4CM【答案】 （1）证明见解析；（2） .83ABV【解析】试题分析：（1）因为 为等腰直角三角形， 且 为90CDoO中点，所以 ，又因为平面 平面 ，且交线为 ，根据面CDOMCDDB面
15、垂直的性质定理可得 平面 ，又因为 平面 ，根据垂直于同一平面的两条直线平行得 ，于是根据线面平行判定定理可证 平面/AB/M；（2）连接 ，由（1）知 平面 ，点 到平面 的距离等AB/AA于点 到平面 的距离，因此 ，由于地面DMBODBOVV是边长为 的等边三角形，所以其面积为 ，则BCD4314，根据已知 平面 ，所以三棱锥123BSABCD，所以 .84ADOV 83MBOV试题解析：（1）证明： 是等腰直角三角形， ，点 为C90O的中点，C M平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，BDIBCMBCD 平面 ，O 平面 ，A ，/ 平面 ， 平面 ，A 平面 MB（2）由（1）知
16、平面 ，/D点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离OB ， 是等边三角形，4AC ， ，D2O连接 ，则 ， ，B3B，8ADMAODAOVV三棱锥 的体积为 B3【考点】1、空间中的平行、垂直；2、三棱锥的体积.20已知椭圆 ： 的离心率为 ，以 为圆心，椭圆C21(0)xyab63(1,0)M的短半轴长为半径的圆与直线 相切2（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知点 ，和平面内一点 （ ） ，过点 任作直线 与椭圆(3,2)N(,)Pmn3l相交于 ， 两点，设直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，CABANB1k23，试求 ， 满足的关系式132kmn【答案】 （1） ；（2） .1xy
17、3m【解析】试题分析：（1）圆心 到直线 的距离等于 ，即,0M210xyb，所以 ，由 解得 ，所以椭圆 的标准方程2b12263bca3abcC为 ；（2）当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，与椭圆方程联立23xyl 1x可以求出 坐标，此时 ，则 ，则 的关系为 ，当直线,AB132k3k,mn32m的斜率存在时，设 的方程为 ，与椭圆方程联立，消去 得llyxy，设 ， ，于是 ，22(31)630kxk1,Ay2,Bxy212631kx（） ，又 ， ， ，所以2112yx3nkm23k，整理、代入（）式得到1221131()3+()k xk，所以 ，整理得 .1322n3n试题解
18、析：（1） ；1xy（2）当直线斜率不存在时，由 解得 ， ，不妨设2,13xyx63y， ，6(1,)3A(,)B因为 ，所以 ，所以 ， 的关系式为 12k23kmn32nm当直线的斜率存在时，设点 ， ，设直线 ： ，联立1(,)Axy2(,)Bl(1)ykx椭圆整理得：，22(31)630kxk 12211213 1()3+()3)kxkxykx.1212(4)692(6k所以 ，所以 ， 的关系式为 23kmn3nm【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题一方面考查待定系数法求椭圆的标准方程，即通过题中已知条件及建立关于 的方程组.另一方面考查直线与椭圆
19、的位置关系，主要是2bac,abc把直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理表示题中条件，考查坐标法在解析几何中的应用，考查学生对数形结合思想、化归转化思想的应用.21已知 ， ， 32461yxtxtRt（1）当 为常数，且 在区间 变化时，求 的最小值 ；t30,y()x（2）证明：对任意的 ，总存在 ，使得 (,)t(0,1)x0【答案】 （1） ；（2）证明见解析.341x【解析】试题分析：（1）设 ，则23634ftxttx，当 时， ，所以22()31()1ftxtt0,6t()0ft函数 在区间 上单调递增，则其最小值为 ，即ft0,6341fx；（2）令 ，341x32()4
20、6gxtxt，由于 ，所以 ，于是() )gt(0,)02t得到函数 在区间 上递减，在区间 上递增，分情况讨论，当x0,2t,2t时，函数 在区间 上递减，经验证，存在 ，使得 ，12tg,1(0,1)x()0gx当 时，函数 在 内单调递减，在 内单调递增，所以 时，0()x02t,2t 2t函数 取最小值 ，经验证，存在 ，使得 .()x374t()x()x试题解析：（1）当 为常数时，3223()4616(1)4fttxtxtt，2()1(3)ftxt，当 ， ， 在22 ()1fttxt30,6t()0ft()ft上递增，其最小值 30,6t 3()04fx（2）令 ，32()461
21、gxtxt，21()x由 ，当 在区间 内变化时， 与 变化情况如下表：(0,)tx0,()gx()2t2t(,)2t()gx0单调递减 极小值 单调递增当 ，即 时， 在区间 内单调递减，12tt()gx(0,1)， ，(0)g2643234(62)30tt所以对任意 ， 在区间 内均存在零点，即存在 ，使得,)t(x(,) (,1x；()x当 ，即 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，012t02t()gx0,2t(,)2t所以 时，函数 取最小值 ，x()x3714t又 ，()gt若 ，则 ， ，0,122()636()03tt37(1)04t所以 在 内存在零点；()x,t若 ，则
22、， ，,2t()10gt3371()4tt所以 在 内存在零点，()x0,所以，对任意 ， 在区间 内均存在零点，即存在 ，使得()t(x(,) (0,1)x()gx结合，对任意的 ，总存在 ，使得 (0,)t(0,1)xy【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、函数的零点；4、分类讨论.【方法点睛】本题第一问主要考查“主参交换”思想的应用，即转化关于 的三次函数，t从而进行解题，第二问主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，考查函数零点问题，考查分类讨论思想在解题中的应用，能力立意要求较高，具有较强的综合性.22已知曲线 的参数方程为 （ 为参
23、数） ，以直角坐标系原点为C35cos,1inxy极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系x（1）求曲线 的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为 ，求直线被曲线 截得的弦长sincoC【答案】 （1） ；（2） .26c2i50【解析】试题分析：（1）曲线 的直角坐标方程为 ，C22315xy，根据直角坐标与极坐标互化公式 ，曲线 的2650xycosinC极坐标方程为 ；（2）由 得2cos2in501si，即 ，圆心 到直线 的距离为sins11yx3,0xy，则弦长 .32d2lrd试题解析：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，C35cos,1inxy曲线 的普通方程为 ，22(3)(
24、)x曲线 表示以 为圆心， 为半径的圆，C,1)5将 代入并化简： cosin,xy26cos2in50（2）直角坐标方程为 ，1yx圆心 到直线的距离为 ，弦长为 C32d2【考点】1、坐标系与参数方程；2、直线与圆的位置关系.23已知关于 的不等式 对 恒成立x|xmxR（1）求实数 的最小值；m（2）若 ， ， 为正实数， 为实数 的最小值，且 ，求证：abckm123kabc39【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）不等式 对任意实数 恒成立，即|2|3|xxR，可以转化成分段函数求最大值，也可以根据绝对值三角不max|3|mx等式 可知 ，所以 ，|2|(1)|max|2|3|1x即实数 的最小值是 ；（2）由第（1）问 ，所以1abc23()(3)abcabcc232bca.239bc试题解析：（1）由 ，|1|2|(1)2|xx 对 恒成立， ， 最大值为 1|2|xmRm（2）由（1）知 ，即 ，k23abc13()()abcc2332abccab2932ab当且仅当 时等号成立，3abc 9【考点】1、不等式恒成立；2、基本不等式.
