1、百 校 联 盟 2018 届 TOP20 四 月 联 考 全 国 一 卷数 学 （ 理 ） 试 题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 02|xA， 01|xB，则 BA（ ）A ),( B )1,( C )2,( D )2,(2设复数 z满足 i3，则 z（ ）A i51 B 5 C i51 D i521 3已知 P是 C所在平面内一点，且 2ABP， P，则 （ ）A2 B1 C D 1 4把不超过实数 x的最大整数记作 x，则函数 )(xf称作取整函数，又叫高斯函数.在 4,1上任取
2、x，则 2的概率为（ ）A 41 B 31 C 21 D 32 5执行如图所示的程序框图，则 t的值变动时，输出的 x值不可能是（ ）A 5 B9 C11 D136已知点 21,F是双曲线 ： )0(12ayax的左，右焦点，点 P是以 21,F为直径的圆与双曲线C的一个交点，若 21FP的面积为 4，则双曲线 C的渐近线方程为（ ）A xy54 B xy5 C xy52 D xy257如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 5824 B 24 C 208 D288已知定义域为 R的函数 )(xf满足 )(xff，且 1时， 22)(xx
3、f ，若0(6)(logafa且 1，则实数 a的取值范围是（ ）A. 2,1 B. ),2(), C. ),(2,0 D. ),()1,29已知实数 yx,满足约束条件 021yx，若 ymxz， z的取值范围为集合 A，且 6,3，则实数 m的取值范围是（ ）A 32,1 B 3,9 C 3,9 D 6,3210已知数列 na满足 048,10214an，且数列 42na是以8为公差的等差数列，设n的前 项和为 nS，则满足 n的 的最小值为（ ）A60 B61 C121 D12211已知 xAfcos)(，若直线 xy2与 )(f的图象有 3 个交点，且交点横坐标的最大值为 t，则（ ）
4、A 1tan)(,2 B 1tan)2(,(A C D12在三棱锥 BC中， BDAC,4, ，则三棱锥 BCDA外接球的体积的最小值为（ ）A 3264 B 32 C 328 D 34二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知 1,)(xf，若 )0(1)(afaf ，则实数 a的值为 .14已知 n)3(的展开式中所有偶数项系数之和为 496，则展开式中第 3 项的系数为 .15已知 BA,是椭圆 C上关于原点对称的两点，若椭圆 C上存在点 P，使得直线 PBA,斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 的离心率的取值范围是 . 16已知四边形 D中， 13DABA，设
5、B与 CD面积分别为 21,S，则21S的最大值为 . 三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17已知数列 na满足 31， 1123nna，设 nab2.（1）求数列 b的通项公式；（2）求数列 n的前 项和 nS.18每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.（1）经过数据分析，一天内平均气温 )(0Cx与该店外卖订单数 y（份）成线性相关关系，试建立 y关于x的回归方程，并预测气温为 12时该店的外卖订单数
6、（结果四舍五入保留整数）；（2）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于 C01，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取3天，预测外卖订单数不低于160份的天数为 X，求 的分布列与期望.附注：回归方程 axby中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：xbyaxybniiiii ,)(12.19如图，在几何体 ABCDEF中，底面 是平行四边形， CDAB/，4,5, AB， B平面 CEF， 与 交于点 O.（1）求证： /OB平面 ACF；（2）若平面 与平面 D所成的锐二面角余弦值为 103，求线段 DB的长度.20已知动圆 M与直线 03x相切，且与圆 582
7、xy外切.（1）求动圆 圆心轨迹 C的方程；（2）若直线 l： my与曲线 交于 BA,两点，且曲线 C上存在两点 E,关于直线 l对称，求实数m的取值范围及 |DEAB的取值范围.21已知 eaxgexf2)(,)( .（1）若 的图象在 1处的切线与 )(g的图象也相切，求实数 a的值；（2）若 )()(fF有两个不同的极值点 )(,21x，求证： 2421aex.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 sin1cotyx（ t为参数， 0） ，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极
8、轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 sin2c.（1）若直线 l过点 )0,2(，求直线 l的极坐标方程；（2）若直线 与曲线 C交于 BA,两点，求 |OB的最大值.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 |2|)(xf.（1）解不等式 |；（2）若 223)(cbaxf（ 0,cba）对任意 Rx恒成立，求证： 327cab.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B C D C C 科_网 A B A B B C二、填空题：
9、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.131 14270 15 )1,23 16 87 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17解：() 由 nab2,得 nb2，代入 11nna得1132nnab，即 31n，所以数列 是公差为 3 的等差数列，又 31，所以 821b，即 861，所以 21b，所以 )(nbn.() 由 得 na23，所以 nnS18253 ，143221nn，两式相减得 113 253)( nnnS所以 nn25.18() 由题意可知 6510864x，51080y， 40)(24)
10、( 22512iix， 50)4(3)(5)60( niiiy，所以 7.1345)(1240niiiiixb ，.2)6(7.3ya， 所以 关于 的回归方程为 5.713xy当 12x时， 1935.2.7)12(75.3.275.3 xy .所以可预测当平均气温为 C01时，该店的外卖订单数为 193 份.（）由题意知， X的取值可能为 0，1，2，3.354)0(7P， 358)(74P， 3512)2(74CXP，13CX所以 的分布列为 793512351840)( XE.19解：() 取 CF中点 G，连接 OA,，在 D中， O是 的中点， 是 CF的中点，所以 21,/，又
11、AB，所以 G,/所以四边形 O为平行四边形，所以 /，又因为 A平面 CF， B平面 ACF，故 /B平面 .（）由 2CD， 52EF， 4DF可得 2，所以 C，又 B平面 ，故以 为坐标原点，直线 BC,分别为 zyx,轴建立如图所示的空间直角坐标系 xyz，则 )0,(， ),4(， )0,2(，设 a，则 )0(， ),1(aA，所以 ),24(CF， 1aAF， DF.设平面 CAF的一个法向量 ),(1zyxm，则 0m即 04211a，取 21z得 ),(，设平面 DAF的一个法向量 ),(2zyxn，则 0n即 0422a，取 12z得 )1,(，设平面 CAF与平面 D所
12、成的锐二面角为 ，则 10345|2|cos anm，整理得 08172524a，解得 或 ，所以 2DB或 5.20.解：() 圆 01582xy化为标准方程为 1)4(2yx，设动圆 M圆心坐标为 ),(P，由动圆 M与直线 03相切，且与圆 01582xy外切，得 4|3|)4(2x，两边平方整理得 xy16.所以动圆 圆心轨迹 C的方程为 xy162.() mx与 2联立得，0)162，因为直线 l与曲线 交于 BA,两点，所以 4(2，解得 4m，设 ),),1yxA，则 1621mx， 2x，所以 mxxAB 4284)(| 121 ，因为点 ED,关于直线 l对称，设直线 方程为
13、 nxy，与 xy162联立得， 0)162(2,由 04)(2n，得 4，设 ),(,3yED， D中点 ),(0yxG则 882040 nx，因为点 G也在直线 my上，所以 m，所以 n16，代入 4得 12，由得，实数 的取值范围为 ),(.又 128482|2| 4324343 mnxxxDE ，所以 mAB 12)1(8| ，因为 12m，所以 424，所以 30，所以 |DEAB的取值范围是 )2,0(.21解：() 因为 axef)(，所以 xf所以 )1(， f)1(，所以 f的图象在 处的切线方程为 )1()(xaey，即 xaey)(，与 eaxg2)(联立得，02，因为
14、直线 与 的图象相切，所以 4)(2ea，解得 e.() axxgfxF2)(，若 0a， )(是增函数，)(x最多有一个实根，)(xF最多有一个极值点，不满足题意，所以 0a，由题意知 02,0211 axeaxe，两式相减得 21，由 21221224 1121 xexeeaeae xxxx ，设 t21，则 0，要证 2421aex，即证 t时， tett2恒成立，即 ttt恒成立，即 0tt 恒成立，设 teh2)(，则 2)( tteh，所以 t在 )0,上是增函数，所以 ()，所以 t时， 2tett 恒成立，即 2421aex.22.解：() 由直线 l过点 )0,(，得所以 1
15、tan，结合 ，得 43，所以直线 l的参数方程为 tyx21（ 为参数） ，消去 t，得 2yx，把 sin,coyx，代入 x得直线 l的极坐标方程为 )sin(co.()曲线 C的普通方程为 )()(22，所以曲线 C是以 )1,为圆心且经过原点的圆，因为直线 l过圆心 )1,，所以 OBA，所以 8|22OBA， 16|)|(2|2|)|( 222 OBABOBA所以 4（当且仅当 时取等号） ，故 |的最大值为 4.23.解：() |2|2)(2xxxf 2或 02或 x202x或 1x或 x或 1所以不等式 |)(f的解集为 ),(),(.()当 2x时， 42)(2xf ，当 时， 7)1(，所以 )(xf的最小值为 47，因为 223cba对任意 Rx恒成立，所以 ，又 22222 4)(3 abcacbcaba ，且等号不能同时成立，所以 47c，即 37
