1、湖南省三湘名校教育联盟 2018 届高三第三次联考数学（文）试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ，所以 .故选 C.2. 已知为虚数单位，若 ，则复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意知， .即 .所以 .故选 D.3. 已知以原点 为圆心，1 为半径的圆以及函数 的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点） ，该小米落入阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
2、由图形的对称性知，所求概率为 .故选 B.4. 已知 为双曲线 上一点，则点 到双曲线 的渐近线的距离为（ ）A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】由题意知， 解得 ，则双曲线 C 的渐近线方程为所以 到 的距离为 或即 或 故选 B.5. 已知等差数列 的各项都为整数，且 ，则 （ ）A. 70 B. 58 C. 51 D. 40【答案】B【解析】设等差数列 的公差为 ，由各项都为整数得 ，因为 ，所以 ，化简得 ，解得 或 （舍去） ，所以所以 .故选 B.6. 函数 的图象如图所示，则（ ）A. 在 上是增函数B. 在 上是增函数C. 在 上是増函数D. 在 上是增函数【答案】
3、A【解析】由图知，所以又 ，则 ，由 ，得 .所以 在 上是增函数，观察选项知 A 正确.故选 A.7. 设非零向量 满足 ，且 ，则向量与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 .则与 的夹角为 .故选 D.8. 执行如图所示的程序框图，当 时，输出的 值为（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】D【解析】由题意,数列 的周期是 6,当 时，输出的 S= ,故选 D.9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知,该几何体是一个棱长为 2 的正
4、方体挖去一个圆锥,其表面积为,故选 D.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知点 满足 ，直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（ ）A. B. 4 C. 7 D. 【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如
5、图所示，由题意知，Q,R 关于原点对称，所以 ，由图形知 的最小值为点 O 到直线的距离所以 的最小值为 7，故选 C.点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义，求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如 ，而本题属于截距形式.11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为，过点 的直线交拋物线于 两点，过点 作准线的垂线，垂足为
6、 ，当 点坐标为 时， 为正三角形，则此时 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示,过点 F 作 AE 的垂线,垂足为 H,则 H 为 AE 的中点,则 ,解得p=2, ,直线 AF 为 ,代入抛物线方程为 ,解得 x=3 或x= , 或 , ,故选 A.12. 已知函数 ， 若当 时，不等式组 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知，当 时， 恒成立，即 恒成立，要使 在 上恒成立，所以令 ，则 ，令 ,则当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，所以 ，所以 恒成立，则 在 上单调递增，要使 在 上恒成立，则综上所述，的取
7、值范围是 .故选 C.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 _【答案】【解析】因为所以 .故答案为： .14. 已知定义在 上的函数 满足:函数 的图象的对称中心为 ，且对称轴为 ；当时， ，则 _【答案】【解析】由题意作出 的部分图象如图所示，则 .故答案为： .15. 已知正四棱锥 的内切球的表面积为 ，且底面 是边长为 6 的
8、正方形，则正四棱锥的体积是_【答案】27【解析】过正四棱锥的高作正四棱锥 轴截面如图所示，其中 PE,PF 为斜高，由题意知，内切球的球心 O 在四棱锥的高 PH 上，G 为球面与侧面的切点，且内切球的半径为 1，设 PH=h，由 ，知 ，即 ，解得 ，所以正四棱锥 的体积为 .故答案为：27.16. 已知首项为 2 的数列 的前 项和 满足： ，记，当 取得最大值时， 的值为_【答案】8【解析】因为 ，所以 ，所以 .所以 ，因为 ，所以 ，所以数列 是以为 首项，公比为 2 的等比数列，所以 ，即 ，所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ，即 .所以 ，因为对称轴 ，所以
9、当 时， 取得最大值故答案为：8.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用 或 ；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图， 分别为 中角 的对边， ， .（1）求的值；（2）求 的外接圆的半径 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据条件求得 ，在 中，由正弦定理得 即可得解；（2）在 中，由余弦定理解得 ，在 中， 即可得解.试题解析：（1） , , ,在 中，由正弦定理得 ， .（2）在 中， .在 中，
10、.18. 中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中华人民共和国道路交通安全法 第 90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5 个月内驾驶员不“礼 让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数 与月份 之间的回归直线方程 ；（2）预测该路口 9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中 3、4 月份分别抽取 4 人和 2 人，然后再从中任选 2 人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参
11、考公式： ， .【答案】(1) ;(2) 人;(3) .【解析】试题分析：（1）计算 ， 利用公式解得 ， ，从而得解；（2）将 代入回归方程即可；（3）设 3 月份抽取的 4 位驾驶员编号分别为 ，4 月份的驾驶员编号分別为 ，列出所有基本事件，利用古典概型计算公式求解即可.试题解析：（1）由表中数据知， ， ， ，所求回归直线方程为 .（2）由（1）知，令 ，则 人. （3）设 3 月份抽取的 4 位驾驶员编号分别为 ，4 月份的驾驶员编号分別为 .从这 6 人中任选两人包含以下基本事件 ,共 15 个基本事件；其中两个恰好来自同一月份的包含 7 个基本事件，所求概率为 . 点睛：古典概型
12、中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序” 与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 如图所示，底面 为菱形， , , 平面 .（1）设 与 交于点 ，求证： 平面 ；（2）求多面体 的体积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 ，易证得四边形 为平行四边形，所以 ，即可证得；（2）过点 作 ,分别交 于点 ,连接 , .取 的中点
13、，连接 ，交 于点 .由题意知，四边形 为平行四边形 ，由 ，结合 平面 ， 平面,由体积公式求解即可.试题解析：（1）取 的中点 ，连接 .由题意知， 为 中点， ，又 ， ，则四边形 为平行四边形， ， 平面 .（2）过点 作 ,分别交 于点 ,连接 , .取 的中点 ，连接 ，交 于点 .由题意知，四边形 为平行四边形 . 为菱形， , 为等边三角形， . 为等边三角形， 为 的中点， , 平面 , , 平面 ， . 平面 ， , 平面 , ， .20. 已知椭圆 的离心率为 ， 为焦点是 的抛物线上一点， 为直线 上任一点， 分别为椭圆 的上，下顶点，且 三点的连线可以构成三角形.（1
14、）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 的另一交点分别交于点 ，求证：直线 过定点.【答案】(1) ;(2)见解析 .【解析】试题分析: （1）由已知列出方程组,解出 a,b,c 的值 ,求出椭圆的标准方程;(2)联立直线 HA 与椭圆方程,得到关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系得出 D 点坐标,同理求出 E 点坐标,代入直线方程并化简,即可求出定点.试题解析:(1)由题意知， ，解得 ，椭圆 的方程为 .（2）设点 ，易知 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 .联立 ，得 ， ，冋理可得 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，即 ，直线 过定点 .21. 已知函数 .（1）若 ，求曲
15、线 在点 处的切线方程；（2）若函数 ，记函数 在 上的最小值为 ，求证： .【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）求导得 ，结合 ，由点斜式可得切线方程；（2）由 ，得 ，令 ， ，则 在 上单调递增，又，则存在 使得 成立，从而得 ，求导求范围即可.试题解析：（1）由题意知， ， ， ， ，则所求切线方程为 ，即 .（2）由题意知， ， .令 ， ，则 在 上单调递增，又 ，则存在 使得 成立， ， .当 时， ，当 时， ， .令 ，则 ， ， ， .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标
16、系中，直线的极坐标方程为 ，现以极点 为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数).（1）求直线的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）若曲线 为曲线 关于直线的对称曲线，点 分别为曲线 、曲线 上的动点，点 坐标为 ，求 的最小值.【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】试题分析: （1）利用 进行代换,即可得出直线的直角坐标方程,利用消去参数可得曲线 的普通方程;(2) 点 在直线 上，根据对称性， 的最小值与的最小值相等,求出点 P 到圆心的距离减去半径即可.试题解析:（1） ， ，即 ，直线的直角坐标方程为 ； ，曲线 的普通方程为 .（2） 点 在直线 上，根据对称性， 的最小值与 的最小值相等，曲线 是以 为圆心，半径 的圆. ，则 的最小值为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析: （1）对函数 去掉绝对值写成分段函数形式,分别解不等式取并集即可;(2)对不等式进行参变分离,利用绝对值不等式求出最值,即可得到参数的范围.试题解析:（1）令 .当 时， 等价于 或 或 ，解得 或 或 ，不等式 的解集为 .（2）由题意知， 在 上恒成立，又 ， ，即 的取值范围是 .
