1、2016-2017 学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1若集合 A=x|0x2，且 AB=B，则集合 B 可能是（ ）A0，2 B0，1 C0，1，2 D12已知复数 z=a+i，若 z+ =4，则复数 z 的共轭复数 =（ ）A2+i B2 i C 2+i D2i3某年级有 1000 名学生，随机编号为 0001，0002，1000，现用系统抽样方法，从中抽出 200 人，若0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A0116
2、 B0927 C0834 D07264下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ ）Ay= 2x+1 By= Cy=lgx Dy=x 35向量 =（2 ，1） ， =（ 1，2） ，则（2 + ） =（ ）A1 B1 C 6 D66已知 0，给出下列四个结论：其中正确结论的序号是（ ）aba+bab |a|b| abb 2A B C D7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D8已知倾斜角为 的直线 l 过 x 轴上一点 A（非坐标原点 O） ，直线 l 上有一点 P（cos130 ，sin50） ，且APO=30 ，则 等于（ ）A100 B160 C100或 1
3、60 D1309阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A2 B C 1 D2102002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 sin2 的值为（ ）A B C D11已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，左顶点到一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的标准方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =112设定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，满足对任意 tR 都有 f（t）=f（2t
4、） ，且 x（0，1时，f（x）= ，a=f（ ） ，b=f（ ） ，c=f（ ） ，则（ ）Abca Ba bc Cc ab Dbac二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 （请把答案填在答题卡内的相应横线上）13函数 y=（x+1） 0+ln（ x23x+4）的定义域为 14已知 x，y 满足 ，则目标函数 z=2x+y 的最大值为 15某中学举行升旗仪式，在坡度为 15的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30和 60，量的看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的距离为 10cm，则旗杆的高 CD 的长是 m16已知三棱锥 P
5、ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 ，则球 O 的表面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在公差不为零的等差数列a n中，已知 a2=3，且 a1、 a3、a 7 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列a n的前 n 项和为 Sn，记 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 Tn18某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14） ，第二组14，15） ，第五组1
6、7，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这 50 名学生百米测试成绩的平均值；（2）若从第一组、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率19如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60 ，PA平面 ABCD，E 为 PC 中点（）求证：平面 BED平面 ABCD；（）若BED=90 ，求三棱锥 EBDP 的体积20已知椭圆 C： + =1（ab0）的一个顶点为 A（2，0） ，离心率为 直线 y=k（x1）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程； （2）当AMN 的面积为 时，求 k 的值21已
7、知函数 ，其中 kR 且 k0（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）当 k=1 时，若存在 x0，使 1nf（x）ax 成立，求实数 a 的取值范围请考生在第 22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：x 2+y2=1，以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l：（2cos sin）=6（1）将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到曲线 C2，试写出直线
8、 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程；（2）在曲线 C2 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 x0R 使得关于 x 的不等式 |x1|x2|t 成立（）求满足条件的实数 t 集合 T；（）若 m1，n1，且对于 tT，不等式 log3mlog3nt 恒成立，试求 m+n 的最小值2016-2017 学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）1若集合 A=x|0
9、x2，且 AB=B，则集合 B 可能是（ ）A0，2 B0，1 C0，1，2 D1【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】根据 AB=B，即可判断集合 B 的范围，可得答案【解答】解：由题意：集合 A=x|0x2，AB=B，BA，故选：D2已知复数 z=a+i，若 z+ =4，则复数 z 的共轭复数 =（ ）A2+i B2 i C 2+i D2i【考点】复数代数形式的加减运算【分析】利用复数的加法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数 z=a+i，若 z+ =4，可得 a+i+ai=4，可得 a=2则复数 z 的共轭复数 =2i故选：B3某年级有 1000 名学生，随机编号为 0001，000
10、2，1000，现用系统抽样方法，从中抽出 200 人，若0122 号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A0116 B0927 C0834 D0726【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为 1000200=5，因为 1225=24 余 2，故抽取的余数应该是 2 的号码，1165=23 余 1，9275=185 余 2，8345=166 余 4，7265=145 余 1，故选：B4下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ ）Ay= 2x+1 By= Cy=lgx Dy=x 3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明【分析】分别
11、判断给定四个函数的单调性，可得答案【解答】解：函数 y=2x+1，则 y=2，在定义域上单调递减；函数 ，则 y= ，在（ ，0）和（0，+）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；函数 y=lgx，则 y= 0 恒成立，在定义域上单调递增；函数 y=x3，则 y=3x20 恒成立，在定义域上单调递增；故选：B5向量 =（2 ，1） ， =（ 1，2） ，则（2 + ） =（ ）A1 B1 C 6 D6【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】容易求出向量 的坐标，从而便可进行数量积的坐标运算求出 的值【解答】解： ， ； 故选：D6已知 0，给出下列四个结论：其中正确结论的序号
12、是（ ）aba+bab |a|b| abb 2A B C D【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质【分析】由已知中 0，结合不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解： 0，ba0，故错误；a+b0，ab0，则 a+bab，故 正确；|a|b|，故 错误；abb 2，故 正确；故选：C7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，底面是斜边长为 4，斜边上的高为 的直角
13、三角形，底面面积为：2 ，底面周长为：6+2 ，棱柱的高为 4，故棱柱的表面积 S=22 +4（6+2 ）=24 +12 ，故选：A8已知倾斜角为 的直线 l 过 x 轴上一点 A（非坐标原点 O） ，直线 l 上有一点 P（cos130 ，sin50） ，且APO=30 ，则 等于（ ）A100 B160 C100或 160 D130【考点】任意角的三角函数的定义【分析】设 OP 与 x 轴的负半轴的夹角为 ，利用任意角的三角函数的定义可求 ，分类讨论，利用三角形内角和定理即可得解【解答】解：如图，设 OP 与 x 轴的负半轴的夹角为 ，由已知可得：P（ cos50， sin50） ，tan
14、 =| |=tan50，可得： =50，当 A 点在 x 轴正半轴时， =180（5030）=160，当 A 点在 x 轴负半轴时，=1805030=100，故选：C9阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A2 B C 1 D2【考点】程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得：i=0，A=2执行循环体，i=1，A= ，不满足条件 i2016，执行循环体， i=2，A=1；不满足条件 i2016，执行循环体， i=3，A=2；不满足条件 i2
15、016，执行循环体， i=4，A= ，循环下去，而 20116=3672，i=2017 时，与 i=4 输出值相同，即 A= 故选：B102002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图） 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 sin2 的值为（ ）A B C D【考点】基本不等式【分析】设直角三角形的边长为 a，a+1，a 2+（a+1） 2=25，a 0解出利用倍角公式即可得出【解答】解：设直角三角形的边长为 a，a+1，则 a2+（a+1） 2
16、=25，a 0解得 a=3sin= ，cos sin2= = 故选：D11已知双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，左顶点到一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的标准方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =1【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，左顶点到一条渐近线的距离为 ，建立方程组，求出 a，b，即可求出该双曲线的标准方程【解答】解：由题意， ，解的 b=2，a=2 ，双曲线的标准方程为 故选：D12设定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，满足对任意 tR 都有 f（t）=f（2t ） ，且 x（0，1时，f（x）= ，a=f（ ） ，b=f（
17、） ，c=f（ ） ，则（ ）Abca Ba bc Cc ab Dbac【考点】函数的值【分析】由已知得 f（2+t）=f（22 t）=f（t ）=f（t） ，求出函数的周期性，结合函数 f（x）在0，1的表达式求出 f（x）的单调性，从而比较 a，b，c 的大小即可【解答】解：定义在 R 上的偶函数 y=f（x） ，满足对任意 tR 都有 f（t）=f（2t ） ，f（2+t）=f（22 t）=f（t）=f（t） ，f（x）是以 2 为周期的函数，x0，1时，f（x）= ，f（x）= 0 在0，1恒成立，故 f（x）在0，1递增，由 a=f（ ）=f（1+ ）=f（ ）=f（ ） ，b=f（
18、 ）=f （1+ ）=f（ ）=f（ ） ，c=f（ ）=f（ ） ，cab，故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 （请把答案填在答题卡内的相应横线上）13函数 y=（x+1） 0+ln（ x23x+4）的定义域为 x|4 x 1 或1x1 【考点】函数的定义域及其求法【分析】由 0 指数幂的底数不为 0，对数式的真数大于 0 联立不等式组求解【解答】解：由 ，解得4x1 或 1x1，函数 y=（x+1） n+ln（ x23x+4）的定义域为x|4x 1 或1x1故答案为：x|4x 1 或1x114已知 x，y 满足 ，则目标函数 z=2x+y 的最大值为 3
19、 【考点】简单线性规划【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在 y 轴的截距最大值求 z 的最大值【解答】解：x，y 满足的平面区域如图：当直线 y=2x+z 经过图中的 A 时，z 最大，由 得到 A（3，3） ，所以 z=23+3=3；故答案为：315某中学举行升旗仪式，在坡度为 15的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30和 60，量的看台坡脚 A 点到 E 点在水平线上的射影 B 点的距离为 10cm，则旗杆的高 CD 的长是 m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得 AD，进而可得 CD【解答】解：如图所示，依题意可
20、知AED=45，EAD=18060 15=105EDA=180 45105=30由正弦定理可知 AD= = 米在 RtADC 中，CD=ACDsinDAC= = m，故答案为 16已知三棱锥 PABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 ，则球 O 的表面积为 4 【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意作出图形，欲求球 O 的表面积，只须求球的半径 r利用截面圆的性质即可求出 OO1，进而求出底面 ABC 上的高 PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于 r 的方程，即可求出 r，从而解决问题【解答】解：根据题意作出图
21、形设球心为 O，球的半径 r过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC，延长 CO1 交球于点 D，则 PD平面 ABCCO 1=OO 1= ，高 PD=2OO1=2 ，ABC 是边长为 1 的正三角形，S ABC = ，V 三棱锥 PABC= 2 = ，r=1则球 O 的表面积为 4故答案为：4三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在公差不为零的等差数列a n中，已知 a2=3，且 a1、 a3、a 7 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设数列a n的前 n 项和为 Sn，记 bn= ，求数列 bn的前
22、n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，由题意得（1+2d） 2=1+12d，求出公差 d 的值，即可得到数列a n的通项公式（2）利用等差数列的求和公式求得 S3n，然后利用裂项相消法求和即可【解答】解：（1）设a n的公差为 d，依题意得 ，解得 ，所以 an=2+（n1）1=n+1；（2）由（1）知，等差数列a n的首项是 2，公差是 1，则 S3n=3n2+ = ， ， ，故 18某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13，14） ，第二组14，15） ，第五组1
23、7，18，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，估计这 50 名学生百米测试成绩的平均值；（2）若从第一组、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】 （1）由频率分布直方图知，能求出百米测试成绩的平均值（2）由频率分布直方图知成绩在13，14）的人数为 3 人，设为 x、y、z，成绩在17，18）的人数为 4 人，设为 A、B、C、D，利用列举法能求出事件“|mn|1”的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为：=0.81+2.32+5.89+5.2
24、8+1.4=15.7（2）由频率分布直方图知，成绩在13，14）的人数为 500.06=3 人，设为 x、y、z；成绩在17，18）的人数为 500.08=4 人，设为 A、B 、C、D若 m，n13，14）时，有 xy，xz，yz 共 3 种情况；若 m，n17，18）时，有 AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种情况；若 m，n 分别在13，14）和 17，18）内时，A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD共有 12 种情况所以基本事件总数为：3+6+12=21 种，事件“ |mn|1 ”所包含的基本事件个数有 12 种 19如
25、图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60 ，PA平面 ABCD，E 为 PC 中点（）求证：平面 BED平面 ABCD；（）若BED=90 ，求三棱锥 EBDP 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】 （I）连接 AC 交 BD 于 O 点，连接 EO，由中位线定理得出 OEPA，由于 PA平面 ABCD，故而 OE平面 ABCD，于是平面 BED平面 ABCD；（II）在直角三角形 BDE 中，根据 BD 的长得出 OE，从而求得 PA，于是三棱锥 EBDP 的体积对于四棱锥PABCD 的体积减去三棱锥 PABD 和三棱锥 EBCD 的体积【解答】
26、 （）证明：连接 AC 交 BD 于 O 点，连接 EO，四边形 ABCD 是菱形，O 是 AC 的中点，又E 为 PC 中点，OEPA ，PA平面 ABCD，OE平面 ABCD，又OE 平面 BED，平面 BDE平面 ABCD（）解：四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，OB=OD= OE平面 ABCD，OEBD，BED=90， OE= =OB= ，PA=2OE=2 V PABCD= = =4VPABD= = =2VEBCD= = =1V EBDP=VPABCDVPABDVEBCD=421=120已知椭圆 C： + =1（ab0）的一个顶点为 A（2，0） ，离心率为 直线 y=k（x1）
27、与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程； （2）当AMN 的面积为 时，求 k 的值【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）由椭圆的焦点在 x 轴上，即 a=2，由离心率公式 e= = ，c= ，根据椭圆的性质求得 b=即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得 x1+x2，x 1x2，利用弦长公式，点到直线距离公式及三角形行的面积公式即可求得 k 的值【解答】解 （1）由题意得：椭圆的焦点在 x 轴上，即 a=2，由 e= = ，c= ，由椭圆的性质可知：b= ，解得：b= 椭圆 C 的方程为 ；（2）由将直线方程代入椭圆方程整理得：（1+2k 2）x
28、 24k2x+2k24=0设点 M，N 的坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 y1=k（x 11） ，y 2=k（x 21） ，x 1+x2= ，x 1x2= |MN|= =又因为点 A（2，0）到直线 y=k（x 1）的距离 d= ，AMN 的面积为 S= |MN|d= 由 = ，解得：k=2k=221已知函数 ，其中 kR 且 k0（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）当 k=1 时，若存在 x0，使 1nf（x）ax 成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求导函数，对 k 讨论，利用导数的正负，
29、可得函数的单调区间；（2）分离参数，构造新函数，g（x）= （x0） ，存在 x0，使 1nf（x）ax 成立，等价于ag（x） max，由此可求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域为 R，求导函数可得 f（ x）=当 k0 时，令 f（x）0，可得 x0 或 x2；令 f（x）0，可得 0x2函数 f（x）的单调增区间为（ ，0） ， （2，+） ，单调减区间为（0，2） ；当 k0 时，令 f（x）0，可得 x0 或 x2；令 f（x）0，可得 0x2函数 f（x）的单调增区间为（ 0，2） ，单调减区间为（，0） ， （2，+） ；（2）当 k=1 时， ， x0，1nf
30、（x）ax 成立，等价于 a设 g（x）= （x0）存在 x0，使 1nf（x）ax 成立，等价于 ag（x） max，当 0xe 时，g（x）0；当 xe 时，g（x）0g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+ ）上单调递减g（x） max=g（e ）=a 请考生在第 22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：x 2+y2=1，以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 l：（2cos
31、sin）=6（1）将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 、2 倍后得到曲线 C2，试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程；（2）在曲线 C2 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出此最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程【分析】 （1）直接写出直线 l 的直角坐标方程，将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2 倍后得到曲线 C2 的方程，然后写出曲线 C2 的参数方程；（2）设出曲线 C2 上一点 P 的坐标，利用点 P 到直线 l 的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大
32、值【解答】解：（1）由题意可知：直线 l 的直角坐标方程为：2x y6=0，因为曲线 C2 的直角坐标方程为： 曲线 C2 的参数方程为： （ 为参数） （2）设 P 的坐标（ ） ，则点 P 到直线 l 的距离为：= ，当 sin（60 ）=1 时，点 P（ ） ，此时 选修 4-5：不等式选讲23已知 x0R 使得关于 x 的不等式 |x1|x2|t 成立（）求满足条件的实数 t 集合 T；（）若 m1，n1，且对于 tT，不等式 log3mlog3nt 恒成立，试求 m+n 的最小值【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】 （）根据绝对值的几何意义求出 t 的范围即可；（）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出 m+n 的最小值即可【解答】解：（I）令 f（x）=|x1| |x2|x1 x+2|=1 t，T=（，1；（）由（I）知，对于tT，不等式 t 恒成立，只需 t max，所以 1，又因为 m1，n1，所以 0， 0，又 1 = （ = 时取“ =”） ，所以 4，所以 2 ，mn9，所以 m+n2 6，即 m+n 的最小值为 6（此时 m=n=3） 2016 年 12 月 10 日
