1、2016-2017 学年福建省泉州市南安一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一项符合要求的）1不等式|2x+1|1 的解集为（ ）A2， 0 B 1，0 C （ ，10，+） D （，20，+）2已知 （i 是虚数单位） ，则|z |=（ ）A2 B4 C D3设 a=log32，b=log 52，c=log 23，则（ ）Aacb Bbc a Cc ba Dcab4在公差为 2 的等差数列a n中，2a 9=a12+6，则 a5=（ ）A4 B6 C8 D105曲线 y=x32x+1 在点（1，0）处的切线方程为（
2、 ）Ay=x 1By= x+1 Cy=2x 2 Dy= 2x+26已知平面向量 ， 的夹角为 ，且| |=1，| +2 |=2 ，则| |=（ ）A2 B C1 D37在下列区间中，函数 f（x ）=e x+4x3 的零点所在的区间为（ ）A （ ， ） B （ ， 0） C （0， ） D （ ， ）8设 E，F 分别为平行四边形 ABCD 中 AB，AD 的中点， + =（ ）A B C D29已知函数 f（x）=Asin （2 x+） （0） ，若 f（x+ ）是周期为 的偶函数，则 的一个可能值是（ ）A B C D10已知函数 f（x）= ，若 f（ ）=a，则 f（ ）= （ ）A
3、1a B2 a C1+a D2+a11在ABC 中，A=120 ， =1，则| |的最小值是（ ）A B2 C D612定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= ，则关于 x 的函数 F（x）=f （x）a（0a 1）的所有零点之和为（ ）A12 a B2 a1 C1 2a D2 a1二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13设 z=1+i（i 是虚数单位） ，则 + = 14已知函数 f（x）= ，则不等式 f（ x）0 的解集为 15已知数列a n满足 an+1an=2n（n N*） ，a 1=3，则 的最小值为 16定义在 R 上的函数 f（x
4、）满足 f（1）=1 ，且对任意 xR 都有 f（x） ，则不等式 f（e x）的解集为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在等比数列a n中，a 2=3，a 5=81（）求 an 及其前 n 项和 Sn；（）设 bn=1+log3an，求数列 的前 10 项和 T1018已知ABC 的面积为 ， （1）求 AC 的长；（2）设 ，若 ，求 sinA19设数列a n的前 n 项和 Sn=2ana1，且 a1，a 2+1，a 3 成等差数列（1）求数列a n的通项公式； （2）记数列 的前 n 项和 Tn，求 Tn20已知函数 f（x）=x 3+ax2x+c，且 （）求 a
5、 的值；（）求函数 f（x）的单调区间；（）设函数 g（x）=（f（x） x3）e x，若函数 g（x）在 x3，2上单调递增，求实数 c 的取值范围21设函数 f（x）=lnx bx（）当 a=b= 时，求函数 f（x）的单调区间；（）令 F（x）=f （x）+ x3） ，其图象上任意一点 P（x 0，y 0）处切线的斜率 k恒成立，求实数 a 的取值范围；（）当 a=0，b= 1 时，方程 f（x）=mx 在区间1，e 2内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围22已知函数 f（x）=xlnx ax，g（x）= ax2+2x2， （a0） （）求 f（x）的单调区间及最小值；（）若 f（x）
6、g（x）在 x1，+恒成立，求 a 的取值范围2016-2017 学年福建省泉州市南安一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一项符合要求的）1不等式|2x+1|1 的解集为（ ）A2， 0 B 1，0 C （ ，10，+） D （，20，+）【考点】绝对值不等式的解法【分析】根据绝对值的意义，把不等式|2x+1|1 的绝对值去掉，化为等价的不等式（组） ，从而求出解集【解答】解：不等式|2x+1|1 可化为2x+11，或 2x+11；解得 x1，或 x0；原不等式的解集为（，1 0，+） 故选：C2已
7、知 （i 是虚数单位） ，则|z |=（ ）A2 B4 C D【考点】复数求模【分析】i 2016=（i 4） 504=1，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：i 2016=（i 4） 504=1， = = ，则|z|= = 故选：C3设 a=log32，b=log 52，c=log 23，则（ ）Aacb Bbc a Cc ba Dcab【考点】对数值大小的比较【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可【解答】解：由题意可知：a=log 32（0，1） ，b=log 52（0，1） ，c=log 231，所以 a=log32，b=log 52= ，所以
8、cab，故选：D4在公差为 2 的等差数列a n中，2a 9=a12+6，则 a5=（ ）A4 B6 C8 D10【考点】等差数列的通项公式【分析】由 2a9=a12+6，利用等差数列的性质可得 a6+a12=a12+6，即可得出 a6，再根据已知条件即可求出a5【解答】解：由 2a9=a12+6，得 a6+a12=a12+6，a 6=6则 a5=a62=62=4故选：A5曲线 y=x32x+1 在点（1，0）处的切线方程为（ ）Ay=x 1By= x+1 Cy=2x 2 Dy= 2x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先
9、利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上y=x 32x+1，y=3x22，所以 k=y|x1=1，得切线的斜率为 1，所以 k=1；所以曲线 y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y0=1（x1） ，即 y=x1故选 A6已知平面向量 ， 的夹角为 ，且| |=1，| +2 |=2 ，则| |=（ ）A2 B C1 D3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可【解答】解：| +2 |=2 ， +4 +4 =| |2+4| | |cos +4| |2=| |2+2| |
10、+4=12，解得| |=2，故选：A7在下列区间中，函数 f（x ）=e x+4x3 的零点所在的区间为（ ）A （ ， ） B （ ， 0） C （0， ） D （ ， ）【考点】函数零点的判定定理【分析】根据导函数判断函数 f（x）=e x+4x3 单调递增，运用零点判定定理，判定区间【解答】解：函数 f（x）=e x+4x3f（x）=e x+4当 x0 时，f （ x）=e x+40函数 f（x）=e x+4x3 在（ ，+）上为 f（0）=e 03=20f（ ）= 1 0f（ ）= 2= 0f（ ）f （ ）0，函数 f（x）=e x+4x3 的零点所在的区间为（ ， ）故选：A8设
11、E，F 分别为平行四边形 ABCD 中 AB，AD 的中点， + =（ ）A B C D2【考点】向量的三角形法则【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出【解答】解：如图所示，+ = + += + + += 故选：C9已知函数 f（x）=Asin （2 x+） （0） ，若 f（x+ ）是周期为 的偶函数，则 的一个可能值是（ ）A B C D【考点】正弦函数的图象【分析】根据 f（x+ ）是周期为 ，求出 ，根据 f（x+ ）是偶函数，利用三角函数的诱导公式求解 的值【解答】解：函数 f（x）=Asin（2 x+） （0） ，则 f（x+ ）=Asin （2 x+ +）f（x+
12、）是周期为 =1 f（x+ ）是偶函数， +=k 当 k=0 时，= ，当 k=1 时，=故选 D10已知函数 f（x）= ，若 f（ ）=a，则 f（ ）= （ ）A1a B2 a C1+a D2+a【考点】三角函数的化简求值【分析】依题意，知 f（x）+f（x）=2 ，从而可得答案【解答】解：f（x）= = +1，而 g（x）= 为定义域内的奇函数，f（ x）+f（x）=2，f（ ）=a ，f（ ）=2a ，故选：B11在ABC 中，A=120 ， =1，则| |的最小值是（ ）A B2 C D6【考点】平面向量数量积的运算【分析】设 ，则根据数量积的定义算出 =2，即 bc=2由余弦定理
13、得 a2=b2+c2+bc，结合基本不等式 b2+c22bc 可得 a2=b2+c2+bc3bc=6，可得 a 的最小值为 ，即得|的最小值【解答】解：A=120， =1， =1，解之得 =2设 ，则 bc=2由余弦定理，得 a2=b2+c22bccos120=b2+c2+bcb 2+c22bca 2=b2+c2+bc3bc=6，可得 a 的最小值为即| |的最小值为故选：C12定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）= ，则关于 x 的函数 F（x）=f （x）a（0a 1）的所有零点之和为（ ）A12 a B2 a1 C1 2a D2 a1【考点】函数的零点【分析】函数
14、F（x）=f （x）a（0a 1）的零点转化为：在同一坐标系内 y=f（x） ，y=a 的图象交点的横坐标作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数 f（x）在 x0 时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案【解答】解：当 x0 时，f（x）= ；即 x0，1）时，f（x）= （x+1） （ 1，0；x1，3时，f（x）=x 21，1；x（3，+）时，f（x）=4x （，1） ；画出 x0 时 f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出 x0 时 f（x）的图象，如图所示；则直线 y=a，与 y=f（x）的图象有 5 个交点，则方程 f（x）a=0
15、共有五个实根，最左边两根之和为6，最右边两根之和为 6，x（1，0）时， x（0，1） ，f（ x）= （x+1） ，又 f（ x）=f （ x） ，f（x）= （x+1）= （1x） 1=log2（1x） ，中间的一个根满足 log2（1 x）=a，即 1x=2a，解得 x=12a，所有根的和为 12a故选：A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13设 z=1+i（i 是虚数单位） ，则 + = 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把 z=1+i 代入 + ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=1+i， + = = 故答案为： 14已知函数 f
16、（x）= ，则不等式 f（ x）0 的解集为 x| 1x1 【考点】函数的图象与图象变化【分析】要求函数 f（x）0 的解集，我们可以先求出 x0 时，log 2x0 的解集，再求出 x0 时，1x20 的解集，然后求出它们的交集即可得到结论【解答】解：f（x）0，且 f（x）= ，当 x0 时，log 2x0，即 log2x0，0x1，当 x0 时，1x 20，即 x210，1x0，因此1 x1故答案为x|1 x115已知数列a n满足 an+1an=2n（n N*） ，a 1=3，则 的最小值为 【考点】等差数列的性质【分析】数列a n满足 an+1an=2n（n N*） ，a 1=3，利
17、用 an=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）+a 1 可得 an，再利用不等式的性质、数列的单调性即可得出【解答】解：数列a n满足 an+1an=2n（n N*） ，a 1=3，a n=（a nan1）+（a n1an2）+（a 2a1）+a 1=2（n1 ）+2（n2）+21+3=2 +3=n2n+3则 = =n+ 1 1=2 1，等号不成立，当且仅当 n=2 时， 的最小值为 故答案为： 16定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）=1 ，且对任意 xR 都有 f（x） ，则不等式 f（e x）的解集为 （，0） 【考点】其他不等式的解法【分析】根据题意，构造函数
18、g（x）=f（x） x，利用对任意 xR 都有 f（x） ，判断 g（x）的单调性利用 g（x）与 f（x）的关系以及单调性求解【解答】解：根据题意，构造函数，设 g（x）=f（x） x，那么：g（x）=f（x） ，f（x） ，g（x）0，g（x）为减函数，不等式 f（e x） = ，f（1）=1 ，g（1）= =g（e 0）即 g（e x）=f（e x） ex等价于 g（e x）g（e 0）g（x）为减函数，e xe 0解得：x0不等式解集为（，0）故答案为：（，0） 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在等比数列a n中，a 2=3，a 5=81（）求 an 及其前 n
19、 项和 Sn；（）设 bn=1+log3an，求数列 的前 10 项和 T10【考点】数列的求和；等比数列的前 n 项和【分析】 （1）通过 计算可知首项和公比，进而计算可得结论；（2）通过（1）及对数的性质可知 bn=n，通过裂项可知 = ，并项相加即得结论【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，依题意得，解得 ，a n=3n1，Sn= = ；（2）由（1）知 bn=1+log3an=1+（n 1）=n ， = = ，T 10=1 + + =1= 18已知ABC 的面积为 ， （1）求 AC 的长；（2）设 ，若 ，求 sinA【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理【分析】 （1
20、）由三角形面积公式可以得到 sinB= ，由余弦定理即可得到 AC 的长（2）由三角恒等变换及等式得到 B= 由正弦定理得到 sinA= 【解答】解：（1）ABC 的面积为 = ABBCsinB， sinB= ，0B，B= 或由余弦定理得 AC2=AB2+BC22ACBCcosB，即 AC2=1 或 5，当 B= 时 AC=1；当 B= 时 AC= （）化简得 f（x）=cos 2x+2 sinxcosxsin2x=cos2x+ sin2x=2sin（ +2x） 由 f（B）= ，得 sin（ +2B）= 由（）知 B= 或 ，代入上式验证可得 B= 由 ，得 ，解得 sinA= 19设数列a
21、 n的前 n 项和 Sn=2ana1，且 a1，a 2+1，a 3 成等差数列（1）求数列a n的通项公式； （2）记数列 的前 n 项和 Tn，求 Tn【考点】数列递推式【分析】 （1）根据数列的递推公式和 a1，a 2+1，a 3 成等差数列，即可求出，（2）利用错位相减法即可求出【解答】解（1）由已知 Sn=2ana1，有 an=SnSn1=2an2an1（n1） ，即 an=2an1（n1） 从而 a2=2a1，a 3=4a1又因为 a1，a 2+1，a 3 成等差数列，即 a1+a3=2（a 2+1） 所以 a1+4a1=2（ 2a1+1） ，解得 a1=2所以，数列a n是首项为
22、2，公比为 2 的等比数列故 （2）由（1）得 所以 = ，（1）（ 2） ，得 ，所以 Tn=2 20已知函数 f（x）=x 3+ax2x+c，且 （）求 a 的值；（）求函数 f（x）的单调区间；（）设函数 g（x）=（f（x） x3）e x，若函数 g（x）在 x3，2上单调递增，求实数 c 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （）由 f（x）=x 3+ax2x+c，得 f（x）=3x 2+2ax1当 时，得，由此能求出 a 的值（）因为 f（x）=x 3x2x+c，从而 ，列表讨论，能求出 f（x）的单调递增区间和 f（x）的单调递减区间（
23、）函数 g（x）=（f（x） x3）e x=（x 2x+c）e x，有 g（x）=（ 2x1）e x+（x 2x+c）e x=（x 23x+c1）ex，因为函数在区间 x3，2上单调递增，等价于 h（x）=x 23x+c10 在 x3，2上恒成立，由此能求出实数 c 的取值范围【解答】解：（）由 f（x） =x3+ax2x+c，得 f（x）=3x 2+2ax1当 时，得 ，解之，得 a=1（）因为 f（x）=x 3x2x+c从而 ，由 =0，得 ，列表如下：x 1 （1，+ ）f（ x） + 0 0 +f（x） 有极大值 有极小值 所以 f（x）的单调递增区间是 和（1，+） ；f（x）的单调
24、递减区间是 （）函数 g（x）=（f（x） x3）e x=（x 2x+c）e x，有 g（x）=（2x1）e x+（x 2x+c）e x=（x 23x+c1）e x，因为函数在区间 x3，2上单调递增，等价于 h（x）= x23x+c10 在 x3，2上恒成立，只要 h（2）0，解得 c11，所以 c 的取值范围是 c1121设函数 f（x）=lnx bx（）当 a=b= 时，求函数 f（x）的单调区间；（）令 F（x）=f （x）+ x3） ，其图象上任意一点 P（x 0，y 0）处切线的斜率 k恒成立，求实数 a 的取值范围；（）当 a=0，b= 1 时，方程 f（x）=mx 在区间1，e
25、 2内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （I）先求导数 f（x）然后在函数的定义域内解不等式 f（x）0 和 f（x）0，f （x）0 的区间为单调增区间，f（x）0 的区间为单调减区间（II）先构造函数 F（x）再由以其图象上任意一点 P（x 0，y 0）为切点的切线的斜率 k 恒成立，知导函数 恒成立，再转化为所以 a（ ，x 02+x0）max 求解（III）先把程 f（x）=mx 有唯一实数解，转化为 有唯一实数解，再利用单调函数求解【解答】解：（）依题意，知 f（x）的定义域为（0，
26、+） 当 a=b= 时，f（x）=lnx x2 x，f（x）= x = 令 f（x）=0，解得 x=1当 0x1 时，f（x）0，此时 f（x）单调递增；当 x1 时，f （ x）0，此时 f（x）单调递减所以函数 f（x）的单调增区间（ 0，1） ，函数 f（x）的单调减区间（ 1，+） （）F（x）=lnx+ ，x（ 0，3，所以 k=F（x0）= ，在 x0（0，3上恒成立，所以 a（ x02+x0）max，x 0（0，3当 x0=1 时， x02+x0 取得最大值 所以 a （）当 a=0，b= 1 时，f （x）=lnx+x，因为方程 f（x）=mx 在区间1，e 2内有唯一实数解，
27、所以 lnx+x=mx 有唯一实数解 ，设 g（x）= ，则 g（x）= 令 g（x）0，得 0xe ；g（x）0，得 xe ，g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e 2上是减函数，g（1）=1，g（e 2）=1+ =1+ ，g（e）=1+ ，所以 m=1+ ，或 1m1+ 22已知函数 f（x）=xlnx ax，g（x）= ax2+2x2， （a0） （）求 f（x）的单调区间及最小值；（）若 f（x）g（x）在 x1，+恒成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （）求出函数 f（x ）定义域为（0，+） ，f （x）=lnx+1
28、 a，由此利用导数性质能求出 f（x）的单调区间及最小值（）令 h（x）=f（x）g（ x） ，问题等价于 hmin0，x1，+） ，求出 h（x）=2ax+lnxa 1，令 m（x）=2ax+lnxa1，则 ，由此利用导数性质能求出 a 的取值范围【解答】解：（）f（x） =xlnxax，函数 f（x）定义域为（0，+） ，f（x）=lnx+1a ，令 f（x）0，即 lnx+1a0，得 xe a1，令 f（x）0，即 lnx+1a0，得 0xe a1，f（x）的增区间为（e a1，+） ，减区间为（0，e a1） ，f min（x）=f（e a1）=e a1lnea1aea1=ea1（）f
29、（x）g（x）在 x1，+）恒成立，令 h（x）=f（x）g（x） ，问题等价于 hmin0，x1，+） ，h（x）=xlnx +ax2ax2x+2，h（x）=2ax+lnxa1，令 m（x）=2ax+lnxa 1，则 ，x1，a0， 0，m（x）在1，+）上单调递增，当 x1 时，m （x ）m （1）=a1，若 m（1）=a10，即 a1 时，h（x）=m（x）m （1 ）=a 10 恒成立，此时 h（x）=xlnx +ax2ax2x+2 在 x1，+）上单调递增，h（x）h（1）=0，a1 满足题意下面证明当 0a1 不合题意，当 0a1 时，h （x）=2ax +lnxa1，h（1）=a10，h（e）=2aea0，由上面可知 h（x）在1，+）上单调递增，h（x）=2ax+lnxa1=0 在（ 1，e ）上有唯一解，设为 x0，当 x1，x 0）时，h（x） 0，此时 h（x 0）h（1）=0 不合题意综上 a1a 的取值范围1，+ ） 2016 年 12 月 22 日
