1、2017 届北京市第十一中学高三文十月月考试题一、单选题1已知全集 ,集合 ,则 等于UR|lg10,|31xAxBUABA. B. ,00,C. D. ,【答案】C【解析】全集 ,集合UR,|lg10|10,|31|0xAxxB.|B或 .|Uxx故选 C.2已知向量 .若 ,则 与 的夹角为1,2,mnmn2mA. B. C. D. 3434【答案】D【解析】向量 .若 ,则 ，解得 .1,2,nn12 0A12， 2,3mn 165mA设 与 的夹角为 ，则 ，所225cos213nA以 .4故选 D.3设函数 ,将 的图象向右平移 个单位长度后,所得cos(0)fxyfx3的图象与原图
2、象重合,则 的最小值等于A. B. C. D. 169【答案】C【解析】 的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,所以yfx3，2kT,3kZA有 ,又 ，所以 的最小值等于 6.6 0故选 C.4已知等比数列 ，满足 ，且 ，则数列 的na23210logla36891ana公比为（ ）A. B. C. D. 24【答案】A【解析】依题意， 故 ，故 ，故23210logla2310loga3102a，解得 ，注意到该数列中 均为正数，故 .选 A.23106aq4q， q5已知 是可导函数 ,如图,直线 是曲线 在 处的切yfxykxyfx线,令 , 是 的导函数,则 等于g
3、gx3gA. B. C. D. 1024【答案】B【解析】试题分析：先从图中求出切线过的点，再求出直线 L 的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出 的值3g（ ）直线 是曲线 在 x=3 处的切线，f（3）=1，又点（3，1 ）2Lykx： yfx在直线 L 上， 133 ,fkgxfgxffx， ， （ ） ， （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ）故选 B1 0gf（ ） （ ） （ ） （ ） ，【考点】利用导数研究函数的单调性6函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是2log,0 xfaA. B. C. D. 或0a110a1【答案】A【解析】函数 ，
4、当 时，由 ，得 ，解2log,0 xfaxfx2log0x得 .1x由题意可知，当 时， 无解，即 无解，因为 ,所0f20xa1x以 或 .a所以 是 或 的充分不必要条件.1a故选 A.7有下列四个命题:函数 为奇函数;2lg1fxx若函数 的定义域为 ,则 的取值范围为 ;23ayRa0,3若函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是 ;lox2 1,函数 既是奇函数,又是 上的增函数.f下列判断正确的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 ，有 ，所以定义域为2lg1fxx210xR，又 ，所以 2 22lllg1f fxx为奇函数，正确；fx若函数 的定义域为 ,则 在
5、R 上无解，当213axyR230ax时，成立，但 时， ，解得 ，综上： 0a041A3a，不正确；,3若函数 在 上单调递增,则 ，解得 ，正确；2log1yax20 1a1a函数 ，满足 ，所以是奇函数,又 和xf fxf2xy是 上的增函数,所以 也是增函数，正确.2xyRf故选 B.点睛：（1）正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：定义域关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； f( x)f(x)或 f(x )f(x)是定义域上的恒等式；（2）研究对数型复合函数要注意真数大于 0.8已知实数集 , ,若对任意给定的实数 ,总有集合R,aRA0r与集合
6、 的交集不空,则称 为数集 的聚点.现在假设数集,arara,则下列四个命题中: 为数集 的聚点; 为数集 的聚点; 为数集13A12A3的聚点; 为数集 的聚点.则正确命题的个数为4AA. 个 B. 个 C. 个 D. 个1234【答案】C【解析】由聚点定义，易知 ， 为数集 的聚点，4 不是，对于 ，12， A3,4,5即 时与集合 的交集为空.rA故选 C.二、填空题9 9设 ，且 ，则 .25abm12abm【答案】【解析】试题分析： 255log,labamb21log2l5log1010mmab0【考点】指数式与对数式的综合运算10已知菱形 的边长为 , ,则 等于_.ABCDa6
7、0ABCD【答案】 23a【解析】菱形 的边长为 , ，ABCDa60ABC ，120,3.acos .2Ba故答案为： .2311已知 ,则 _.cos4asincos263aa【答案】 32【解析】由 可得, ,即 ,那么3cos4a264cos364sin.364sin.2 9122112668cocoscossin 3.648sin故答案为： .3212设函数 的图象关于直线 对称,sin(0,)2fx23x它的周期是 ,有下列说法: 的函数图象过点 ;f 3,2 在 上是减函数;fx,12 的一个对称中心是 ;f 5,012将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象.fx3sin
8、yx其中正确的序号是_.（正确的序号全填上）【答案】【解析】因为函数的周期为 ,所以 =2,又函数图象关于直线 对称，23x所以由 ，3sin2()2fx可知 ，52,kZ62k， ，所以 k=1 时 .6函数的解析式为： 32.6fxsin当 x=0 时 f(0)= ，所以正确.2当 , ，函数不是单调减函数，不正确；133,62x当 x= 时 f(x)=0.函数的一个对称中心是( ,0)，正确；5251f(x)的图象向右平移| |个单位得到函数 y=3sin(x+)的图象，不是函数 y=3sinx的图象，不正确；故答案为：.点睛：函数 的性质sin(0,)yAxBA(1) .maxmi=+
9、B，(2)周期 2.T(3)由 求对称轴xkZ(4)由 求增区间; 由22k求减区间.3kx13已知函数 若对于任意两个不等实数 ,都有,0 14.2xeaf12x成立,则实数 的取值范围是_.12fxfa【答案】 ,4【解析】若对于任意两个不等实数 ,都有 成立，即12x12fxf，120fxfx令 在 R 上为增函数.gf当 时， 在 上恒成立，得 .0x0xxeafea， ,0a当 时， ，有 ，解得 .142f44a又由分段函数得 ，解得 .1综上得： .2a故答案为： .,414已知 的半衰期为 年（是指经过 年后, 的残余量占原始量的一1C5730573014C半）.设 的原始量为
10、 ,经过 年后的残余量为 ,残余量 与原始量 的关系如下: 4axba,其中 表示经过的时间, 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出kxbaek土时 的残余量约占原始量的 .请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今14C76%_年.（已知 ）2log0.4【答案】2193【解析】由题意可知，当 时， ，解得 .5730x573012kae25730lnk现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时 的残余量约占原始量的 .14C6%所以 ，得 , 257306.%lnxel.67530lnx.2l.log.9x三、解答题15已知数列 的前 项和为 ，且 ， .nanS15a21nnS（1）求证：数列
11、 为等差数列；（2）若 ，判断 的前 项和 与 的大小关系，并说明理由.12nnbanbnT16【答案】 （1）见解析；（2） 16T【解析】试题分析：（1）结合要证明的命题，已知条件 可化为 ，21nnS1nS这样就证明了数列 是等差数列；nS（2）由（1）先求得 ，利用 可求得 ，结合24n12nnaSna可得 通项 ，从而知 ，由裂项1aSna133nb相消法求得数列 的前 项和 ，再与 比较即得结论nbnT16试题解析：（1） 2*1 1,5.nnSNa 1nSS数列 是首项为 5,公差为 1 的等差数列,n（2） 254,nnSS当 时, 时也符合,131na故 *23,naN11.
12、23nbn.1123571236nT n 点睛：（1）数列中已知 求 时，要注意公式 只对 成立，利用nSa1aS2与 相等求得 ，然后比较可得通项公式；aS1（2）当数列的通项可以看作是由等差数列相乘取倒数所得，即若 是等差数列， na，则数列 的前 项和用裂项相消法求得，其中 1nbanb 1nnbd16在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足ABCCac， 的面积为 coss2cosAB43（）求角 的大小； （）若 ，求边长 a【答案】解：（）由正弦定理得： sincosinco2sincoABC所以 ， ，sin()2sincoABC2C， .4 分013（） ，所以 ，
13、1sini60422Sabb 8b由余弦定理得： ，2cos6152ca所以 。8 分3c【解析】本试题主要是考查了解三角形中余弦定理和正弦定理的综合运用。（1）根据已知由正弦定理得： ，得到sincosinco2sincoBABC，求解得到角 C。sin2icosC（2）由于 ，得到 b 的值，然后结合余弦定理得到13ini6042Sabbc 的长度。17已知函数 .2sisincos4fxxx（）求函数 的单调递增区间;f（）在 中,内角 所对的边分别为 ,且角 满足 .ABC, abcA31f若 , 边上的中线长为 ,求 的面积 .3a3ABCS【答案】 （） ；（） .,36kZ273
14、8ABCS【解析】试题分析：（）化简函数得 ，令 sin6fx,即可得增区间；22,6kxkZ（）由 得 ，从而解得 ，又 上的中线长31fA1sin62A3ABC为 ,所以 ,平方可得 ，结合余弦定理可得 ，从而可36CBbcbc得面积.试题解析： 23sinsincos44fxxx1coi23sin23x.i6（）令 ,得 ,22,kxkZ,36kxkZ所以函数的单调递增区间为 .36（） ,2sin1fA所以 ,1si6因为 ,0A所以 ,132,6所以 ,则 ,5A又 上的中线长为 ,BC3所以 ,6所以 ,2 6ACAB即 ,2cos36bA所以 ,由余弦定理得 ,22cosab所以
15、 ,29bc由得: ,7所以 .123sin8ABCSbc18已知定义在实数集 上的奇函数 ,且当 时, .Rfx01241xf（）求函数 在 上的解析式;fx1,（）判断 在 上的单调性;0（）当 取何值时,方程 在 上有实数解?fx1,【答案】 （） ；（）见解析；（） 2,014,1xxf或 或 .12,51,0【解析】试题分析：（）由 是 上的奇函数,得 ，且设fxR0f,则 ， 即可得解；10x,1xf（）设 , 则 ，判断正负即可121212124xxfxf 下结论；（）由函数单调性求得 在 的值域即可.f,试题解析：（）因为 是 上的奇函数,fxR所以 ,0设 ,则 ,1x01x
16、因为 ,214xxf f所以 时, ,0x214xf所以 .2,014 ,1xxf（）证明:设 ,120则 , 121121211244xxxxxfxf 因为 ,120所以 ,0,xx所以 ,12ff所以 在 上为减函数.x0,（）因为 在 上为减函数,f1所以 即 ,10fxf215fx同理, 上时, ,f又 ,0f所以当 或 或 时方程 在 上有实数解.12,51,0fx1,点睛: 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取 ，并且12,x（或 ） ；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到12xx12fxf能判断整个式子符号为止） ；（3）定号：判断 的正负（要注意说理的x充
17、分性） ，必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.19已知函数 .,xfegkxR（）过原点 作函数 的切线 ,求 的方程;0,Oxfel（）若对于任意 恒成立,试确定实数 的取值范围.xRgk【答案】 （） ；（） .ye0e【解析】试题分析：（）设直线 与函数 相切于点 ,得切线方程lxy0xPe，代入(0,0)即可得解；00xye（） “对于任意 恒成立”,等价于“对于任意,Rfxg恒成立”,等价于“ ”, 设,xRfgmin0fxg,求导讨论函数单调性求最值即可.xhek试题解析：（）设直线 与函数 相切于点 ,lxy0xPe因为 ,则 ,xfe0fe则切线 的方程为 ,l0
18、0xy因为 过原点 ,代入上式可得O,即 ,00xxe1所以切线 的方程为 .lyex（） “对于任意 恒成立”,等价于“对于任意,Rfg恒成立”,等价于“ ”,0xRfgxmin0fxg设 ,xhek则 ,xek当 时, 恒成立,满足题意;00x当 时, , 单调递增,khekhx由于 ,不合题意;10kf当 时,令 得 ,0xheklnk令 得 ,xhekln所以 在 单调递减,在 单调递增,hxlnklnk,min1l则 ,1l0k又 ,所以 ,lk解得 ,e综上所述, 的取值范围为 .,e点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等
19、式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.20对于函数 与常数 ,若 恒成立,则称 为函数yfxab2fxafb,ab的一个“ 数对”;设函数 的定义域为 ,且 .fxPR13f（）若 是 的一个“ 数对”,且 ,求常数 的值;,abfxP649f ,（）若 是 的一个“ 数对”,求 ;1 *2nN（）若 是 的一个“ 数对”,且当 , ,求2,0fx1x23fxk的值及 在区间 上的最大值与最小值.kf *,nN【答案】 （）
20、 ；（） ；（）见解析.1.3ab23nf【解析】试题分析：（）由题意知 ，代入解方程组即12 4afbffx可；（）由题意知 恒成立,令 可得21fxf*kN,所以 是公差为 的等差数列,由等差数列求通项即可得12kkfk解；（）代入 ，可得 ，进而可得 在 上的值域，由当x4fx1,2时, , 1*2,kN 12kx,讨论奇偶即可得最值.142kkxxffff试题解析：（）由题意知 12 ,4afbffx即 36 ,9ab解得 1 .3b（）由题意知 恒成立,21fxf令 可得 ,*kxN2kkf所以 是公差为 的等差数列,f故 ,02n又 ,013ff故 .n（）当 时, ,2x23fxk令 可得 ,11f解得 ,4k所以 时, ,2x423fx故 在 上的值域是 .f1,又 是 的一个“ 数对”,0fxP故 恒成立,2f当 时, ,1*,kxN12kx,124kkxffff故当 为奇数时, 在 上的取值范围是 ,kfx12,k 132k当 为偶数时, 在 上的取值范围是 ,所以当 时, 在 上的最大值为 ,最小值为 ,1nfx1,n4当 且为奇数时, 在 上的最大值为 ,最小值为 ,3212n2n当 为偶数时, 在 上的最大值为 ,最小值为 .nfx1,2n2n12n
