1、兴化市第一中学 2018 届考前适应性练习数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合 ， ，若 ，则 =2,34A2Ba,=ABCA2一个容量为 20 的样本数据分组后，分组与频数分别如下： 10,2，2； 0,3，3；30,4，4； 0,5，5； 0,6，4； 0,7，2则样本在 ,5上的频率是 3已知复数 ，则 iz1|z4运行如图所示的程序后，输出的结果为 5记函数 的定义域为 D若在区间6，6上随机取一个数 ，则243fxx x的概率为 Dx6函数 的单调递减区间是 2lgfx7如图，在梯形 ABCD 中，ABCD
2、，AB4，AD 3，CD 2， .若2AMD，则 . 3ACBMAD8设向量 ， ，其中 ，若(cos,in)a(cos,in)b 0，则 . b29一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的 3 倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 倍.10若直线 和直线 将圆 分成长度相等的axyl:1 bxyl:2 5)2()1(2y四段弧，则 b 11已知数列 ， ， ， ，则其前 n 项和 Sn 为 . 12341587612在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直xOyP142yx P线 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 012yx13已知函数 有且仅有
3、2 个零点，则 的范围是 1,23ln)(2xaxef a14已知 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 ， ，当ABCBCbc3C2c取得最大值时， 的值为 ba二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15（本小题满分 14 分）已知函数 （ ）的周期xxxf cosincos3)(20为 .（1）当 时，求函数 的值域；4，x)(xf（2）已知 的内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 ，且ABCCabc3)2(Af， ，求 的面积.4a5cb16（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，已知底面
4、 为矩形，ABCDPABCD平面 ,点 为棱 的中点，求证：PADCE（1） 平面 ；/B（2）平面 平面 AB17（本小题满分 15 分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口 A 沿AB，AC 方向修建两条小路，休息亭 P 与入口的距离为 米（其中 a 为正常数），过 P32修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 E、F 处，已知 ，045B12tan5CAB（1）设 米， 米，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域；ExAF（2）试确定 E，F 的位置，使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低18（本小题满分 15 分）椭圆 的离心率为 ，点 关)0(1:2bay
5、xM23),0(E于直线 的对称点在椭圆 上xy（1）求椭圆 的方程；M（2）如图，椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 相交于两个ABPlM不同的点 ， CD求 的取值范围；O当 与 相交于点 Q 时，试问：点 Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；AB若不是，说明理由19（本小题满分 16 分）在数列 中， ， ， ，其中na114nna12nban（1）求证：数列 为等差数列；nb（2）设 ，试问数列 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出ncnc这三项；若不存在，说明理由（3）已知当 且 时， ，其中 ， ， ， ，求满足n61132nm12n等式 的所
6、有 的值42nnb20 （本小题满分 16 分）设函数 （ ，其中 是自然对数sincoxfeaxaRe的底数）.（1）当 时，求 的极值；0afx（2）若对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；,20fa（3）是否存在实数 ，使得函数 在区间 上有两个零点？若存在，求出 的取afx,2a值范围；若不存在，请说明理由.兴化市第一中学 2018 届考前适应性练习数学答案一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合 ， ，若 ，则 【答案】=2,34A2Ba,=ABCA32一个容量为 20 的样本数据分组后，分组与频数分别如下： 10,
7、2，2； 0,3，3；30,4，4； 0,5，5； 0,6，4； 0,7，2则样本在1,5上的频率是 【答案】 13已知复数 ，则 【答案】1iz|z4运行如图所示的程序后，输出的结果为 【答案】95记函数 的定义域为 D若在区间6，6上随机243fxx取一个数 x，则 的概率为 【答案】D1256函数 的单调递减区间是 【答案】2lg3fx 1,37如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB4，AD 3，CD 2， .若2AMD，则 .【答案】3ACBMAD8设向量 ， ，其中 ，若(cos,in)a(cos,in)b 0，则 . 【答案】b23329一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面
8、积是其底面积的 3 倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 倍.【答案】 2401siWhile s30 i2iWhleEndPrint i10若直线 和直线 将圆 分成长度相等的axyl:1 bxyl:2 5)2()1(2y四段弧，则 b 【答案】 411已知数列 ， ， ， ，则其前 n 项和 Sn 为 .【答案】123158762n12在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点。若点 到直xOyP142yx P线 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 【答案】012yx 513已知函数 有且仅有 2 个零点，则 的范围是 1,23ln)(2xaxef a【答案】 或a【解析】设
9、 ， 在 上递增，由 ，可得ln3,1xhehx1,10 2h在 上有一个零点，只需函数 ，在 有一个零点x1,2gax,即可， 时， ，此时 有一个零点 ，符合题意，若 ，只需02ax0即可，可得 ， 的取值范围是 或 ，故答案为g1+30,a2a3或 .2a14已知 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 ， ，当ABCBCabc3C2c取得最大值时， 的值为 【答案】ba2【解析】设 的外接圆半径为 ，则 .ABCR432sincC, ,438cos2ioiosbBABA 23832cosinACBA 283143cossincos2AAsin2323431321cossinsi
10、ncos2sin2cosAAA.43in, ，则当 ，即： 时， 20,A5233A23A12A取得最大值为 ，此时 中， CB4BC7,12,7siniab.2317sin134ba二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15（本小题满分 14 分）已知函数 （ ）的周期xxxf cosincos3)(20为 .（1）当 时，求函数 的值域；4，x)(xf（2）已知 的内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 ，且ABCCabc3)2(Af， ，求 的面积.4a5cb【答案】（1） 。2 分313()(1cos2
11、)sini(2)fxxx的周期为 ，且 ， ，解得 ()fx01。4 分3()sin2)fx又 ， 得 ， ，4， 65326x1)32sin(1x。6 分231)2sin(13x即函数 ()yfx在 上的值域为 。7 分4， 231,（2） 。9 分3Af 3sin()2由 ，知 ，。10 分(0,)4解得： ，所以 。11 分23A3A由余弦定理知： ，即22cosab216bc，因为 ，所以 。13 分16()bc53 。14 分3sin24ABCS16（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩形，ABCDPABCD平面 ,点 为棱 的中点，求证：PDE（1） 平面 ；/
12、BAC（2）平面 平面 PB【答案】（1）连接 BD 与 AC 相交于点 O，连结 OE因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 中点因为 E 为棱 PD 中点，所以 PBOE。4 分因为 PB 平面 EAC，OE 平面 EAC，所以直线 PB平面 EAC。 7 分（2）因为 PA平面 PDC，CD平面 PDC，所以 PACD 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 ADCD。9 分因为 PAAD A，PA ，AD 平面 PAD，所以 CD平面 PAD。12 分因为 CD平面 ABCD，所以 平面 PAD平面 ABCD。 14 分17（本小题满分 15 分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，
13、如图，从公园入口 A 沿AB，AC 方向修建两条小路，休息亭 P 与入口的距离为 米（其中 a 为正常数），过 P32修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于 E、F 处，已知 ，045B12tan5CAB（1）设 米， 米，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域；ExAF（2）试确定 E，F 的位置，使三条路围成的三角形 AEF 地皮购价最低解：（方法一）（1）由 得 ，12tan5CB12sin3CAB5cos13CAB且7sinsi()i(45)6APPE由题可知 AEFPAFSS所以111sinsinsin222CBEPAFAP得7336xyaya即12213y所以 47ax
14、y由 得定义域为 6 分013xya7(,)4a(2) 设三条路围成地皮购价为 元，地皮购价为 k 元/平方米，则 ( 为常数)，y AEFykS所以要使 最小，只要使 最小yAEFS由题可知21126136sin2347AEF axSCBxy定义域为7(,)4a令 0tx则22227631493494 188AEFtatataS ta223918ata当且仅当 即 时取等号7tx所以，当 时， 最小，所以 最小2aAEFSy答：当点 E 距离点 米远时，三条路围成地皮购价最低14 分（方法二）(1) 由 得 ，12tan5CB12sin3CAB5cos13CAB7sinsi()i(45)6F
15、APPEF设 中，由正弦定理AsinsisinAAPFE所以72326,isyaPFFEy同理可得12,sin32sinxxa由 PFE即72163sini2sinyxya整理得 ，47x由 得定义域为 6 分013ayx7(,)4a（方法三）（1）以 所在直线为 轴，点 为坐标原点，建立如图直角坐标系，ABxA则 ， ，由 ，得 ，,0Ex3,Pa12tan5CB12sin3CB5cos13CAB所以512,3Fy因为 与 共线PEF所以512331yayax所以 47x由 得定义域为 6 分013axy7(,)4a18（本小题满分 15 分）椭圆 的离心率为 ，点 关)0(1:2byaxM
16、23),0(E于直线 的对称点在椭圆 上xy（1）求椭圆 的方程；（2）如图，椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 相交于两个ABPlM不同的点 ， CD求 的取值范围；O当 与 相交于点 Q 时，试问：点 Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；AB若不是，说明理由【答案】（1）因为点 关于直线 的对称点为 ，且 在椭圆 M 上，)2,0(Eyx(2,0)(,)所以 又 ，故 ，则 所以椭圆 M 的方程为2a3ec22431bac。3 分 14xy（2） 当直线 l 的斜率不存在时，所以 1。4 分(0,1),)CDOCD当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，
17、消去 y 整理得122,(),()ykxCyDx2,14ykx，。6 分2(14)120kx由 ，可得 ，且 ， 023k121226,44kxxk所以 ，12OCDy1212217()()4k。8 分所以 ，综上 。10 分34 31,)4OCD由题意得，AD ： ，BC： ，。 12 分21yx1yx联立方程组，消去 x 得 ，又 ，解得 ，12213kyx121243()kxx12y。14 分故点 Q 的纵坐标为定值 . 。 15 分1219（本小题满分 16 分）在数列 中， ， ， ，其中na114nna12nban（1）求证：数列 为等差数列；nb（2）设 ，试问数列 中是否存在三
18、项，它们可以构成等差数列？若存在，求出ncnc这三项；若不存在，说明理由（3）已知当 且 时， ，其中 ， ， ， ，求满足n61132nm12n等式 的所有 的值42nnb【答案】（1）证明：11 1122nnnnnbaa数列 为等差数列。4 分n（2）解：假设数列 中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第 ， ， （nc prq）项，prq由（1）得 ， ， ， 。6nb2nc2rpq12rpqp分又 为偶数， 为奇数故不存在这样的三项，满足条件。8 分12rpqp（3）由（2）得等式 ，可化为3423nnbn42nn即 ，。10 分133nn11nnn当 时， ，6n32nm， ，
19、， ，12n211n132n13332nnnnn 当 时， 。13 分642nnn当 ， ， ， ， 时，经验算 ， 时等号成立。15 分1n25满足等式 的所有 ， 。16 分33nnbn2320 （本小题满分 16 分）设函数 （ ，其中 是自然对数sicoxfeaxaRe的底数）.（1）当 时，求 的极值；0afx（2）若对于任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；,20fa（3）是否存在实数 ，使得函数 在区间 上有两个零点？若存在，求出 的取afx,2a值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当 时，0a,1xxfef令 ，得fx1列表如下： ,-1 1,fx+ 0 -A极小值 A所
20、以函数 的极小值为 ，无极大值；。4 分fx1fe（2） 当 时，由于对于任意 ，有0a0,2xsinco0x所以 恒成立，当 时，符合题意；。5 分fxa当 时，因为10=1cs1cs0xfeaxea所以函数 在 上为增函数，所以 ，即当 ，符合题意；fx0,2ff1。7 分当 时， ，1a01fa 410fe所以存在 ，使得 ，且在 内，,40f,fx所以 在 上为减函数，所以 fx0, 0fxf即当 时，不符合题意。9 分1a综上所述， 的取值范围是 ;。10 分,1（3）不存在实数 ，使得函数 在区间 上有两个零点，afx0,2由（2）知，当 时， 在 上是增函数，且 ，故函数 在区间
21、1f, 0ffx上无零点。11 分0,2当 时，1a=1cos2xfeax令 ，xg 2singeax当 时，恒有 ，所以 在 上是增函数。13 分0,20xx0,由21,1gagea故 在 上存在唯一的零点 ，即方程 在 上存在唯一解x0,20x0fx,20x且当 时， ，当 ，0,fx0,2f即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，。14 分fx0,0,x当 时， ，即 在 无零点；0,fff0,x当 时，0,2x 20,fxfe所以 在 上有唯一零点，f0,所以，当 时， 在 上有一个零点。15 分1afx,2综上所述，不存在实数 ，使得函数 在区间 上有两个零点. fx0,2。16 分
