1、石景山区 20172018 学年第一学期高三期末试卷数学（文）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若集合 ， ，则集合 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,选 C.2. 设是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】因为 ，所以对应的点位于第一象限，选 A.3. 若实数 满足 则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作可行域如图：直线 过点 A（ ）取最大值 6，选 C. 4. 已知函数 则下列结论
2、正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是增函数C. 是周期函数 D. 的值域为【答案】D【解析】因为 ,所以 是奇函数； 时 有增有减，所以 B 错；不为周期函数，C 错； 时 ，所以 的值域为,选 D.5. “ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程 表示双曲线，则 所以“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，选 A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ，
3、 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件6. 函数 ， 的部分图象如图所示，则 的值分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 点睛：已知函数 的图象求解析式(1) .(2)由函数的周期 求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .7. 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体） ，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 丈，那么此刍甍的体积为（ ）A. 3
4、立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈【答案】B【解析】几何体如图：体积为 ，选 B.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析8. 小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 出发，沿箭头方向经过点 跑到点 ，共用时 ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 ，他与教练间的距离为，表示 与的函数关系的图象大致如图
5、2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的（ ）A. 点 B. 点 C. 点 D. 点【答案】D【解析】由图知固定位置到 A 点距离大于到点 C 距离，所以舍去 N,M 点，不选 B,C;若是 P 点，则从最高点到 C 点依次递减，与图 1 矛盾，因此取 Q,即选 D.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系二
6、、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 若 ， ， ，则 的大小关系为_.【答案】【解析】 ， ，即 10. 抛物线 上一点 到此抛物线焦点的距离为_.【答案】3【解析】点 到此抛物线焦点的距离为 11. 执行右面的程序框图，若输入的 的值为 ，则输出的 的值是_.【答案】13【解析】 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.12. 在数列 中, ，且对任意的 有 ,则 _.【答案】64【解析】
7、 13. 平面向量与 的夹角为 ， ， ，则 _ .【答案】【解析】 14. 若集合 且下列四个关系： ； ； ； 有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组 _,符合条件的全部有序数组 的个数是_.【答案】 (1). (3,2,1,4) (2). 6【解析】若 ，则 ，所以 ；若 ，则或 时 ；若 ，则 所以共 6 个三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15. 已知数列 为递增的等比数列， ， .（）求数列 的通项公式；（）记 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式列关于公比与首项的方程组
8、，解得 或 ，再根据递增舍去 ，最后代入通项公式（2）因为数列 是一个等比数列与等差数列之和，所以利用分组求和法求数列 的前 项和 .试题解析：（）由 及 得 或 （舍）所以 ，所以（）由（）得 所以 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ） ，符号型（如 ） ，周期型 （如 ）16. 如图，在 中， 为边 上一点， ， ， （）若 ，求 的大小；（）若 ，求 的面积【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（1）设 ， ，可得 ， ，再根据两角和正切公式求，最后根据角的范围得 的大小；（2）过点 作 交 的延长线
9、于点 ，根据直角三角形可得高，再根据三角形面积公式求面积试题解析：（）设 ， ，则 ， 所以 因为 ，所以 ，即 （）过点 作 交 的延长线于点 ，因为 ，所以 ，所以 ； 所以 17. 某学校高三年级共有 1000 名学生，其中男生 650 人，女生 350 人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了 200 名学生.（）完成下面的 列联表；不喜欢运动 喜欢运动 合计女生 50男生合计 100 200（）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于 30 分钟到 90 分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段 和 的所有女生中随机抽取两名女生，求
10、她们的运动时间在同一区间段的概率.【答案】 （）见解析（） 试题解析：（）根据分层抽样的定义，可知抽取男生 130 人，女生 70 人， 不喜欢运动 喜欢运动 合计女生 50 20 70男生 50 80 130合计 100 100 200（）由直方图可知在 内的人数为 2 人，设为 ，在 内的人数为 4 人，设为 .设“两人的运动时间在同一区间段”的事件为 . 从中抽取两名女生的可能情况有：，两人的运动时间恰好在同一区间段的可能情况有 7 种.18. 如图，在多面体 中，四边形 是矩形， ， ， ， .（）若 点是 中点，求证： ；（）求证： ；（）求三棱锥 的体积【答案】 （）见解析（）见解
11、析（）【解析】试题分析：（1）根据平面几何知识证得四边形 为平行四边形，即得 ；再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据面面垂直性质定理得 ；即得 ；再根据勾股定理计算得；最后根据线面垂直判定定理证结果（3）根据锥体体积公式，利用等体积法求体积试题解析：（）证明:因为 ， ，所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ； 又因为 ，所以 （）证明:因为平面 平面 ，平面 平面 ,又因为 ，所以 ；因为 ，所以 ；因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ；又因为所以 . （） . 19. 已知椭圆 离心率等于 ， 、 是椭圆上的两点.（）求椭圆 的方程；（） 是椭圆上位于直线 两侧的动点，若直线 的斜率为
12、 ，求四边形 面积的最大值.【答案】 （） （ 【解析】试题分析：（1）由条件列关于 a,b,c 的方程组，解得 （2）将 PQ 作为底，则四边形 面积为 ，设 方程 ，并与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得 ，最后根据 t 范围确定最大值试题解析：（）因为 ，又 ，所以 设椭圆方程为 ,代入 ,得 椭圆方程为 （）设设 方程为 ，代入化简得： ，又当 时， 最大为 20. 已知函数 .（）当 时，求函数 的单调区间；（）若对于任意 都有 成立，求实数的取值范围；（）若过点 可作函数 图象的三条不同切线，求实数的取值范围.【答案】 （）见解析（） （）【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导
13、函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间（2）先化简不等式，利用变量分离得 最小值，再利用基本不等式求最小值，即得实数的取值范围；（3）先设切点 ，根据导数几何意义建立方程，转化为 有三个不同的解，利用导数研究函数图像，根据极值点位置确定实数的取值范围.试题解析：（）当 时， ，得 因为 = ，所以当 时， ，函数 单调递增；当 或 时， ，函数 单调递减所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和（）由 ，得 因为对于任意 都有 成立，即对于任意 都有 成立，即对于任意 都有 成立，设 , ,则等号成立当且仅当 即 .所以实数的取值范围为 （）设点 是函数 图象上的切点，则过点 的切线的斜率为 ，所以过点 的切线方程为 因为点 在切线上，即 若过点 可作函数 图象的三条不同切线，则方程 有三个不同的实数解令 ，则函数 与轴有三个不同的交点令 ，解得 或 因为 ， ，所以必须 ，即 所以实数的取值范围为 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
