1、北京师大附中 20162017 学年度第一学期月考试卷高三数学（文）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分1已知全集 1,234U，集合 1,2A，则 UA（ ） A 4B 34C 3D 1,34【答案】B【解析】解：全集 1,2，集合 1,2A， 3,4U故选 2设 3log2a， 21l8b， c，则（ ） A cB baC acbD cab【答案】D【解析】解： 3log2(0,1)a， 21log08， 21c， cb故选 3 设命题 :pnN， 2n，则 p为（ ） A ， B N， 2n C N， 2n D N， 2n【答案】C【解析】解：特称命题的否定需将特
2、称量词变为全称量词，同时否定结论，所以命题 :pnN， 2n，则 P为： ， 故选 C4 “数列 na既是等差数列又是等比数列”是“数列 na是常数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若数列 na既是等差数列又是等比数列，则数列 na为常数列，且 0na，反之，当0na时，满足数列 是常数列，但数列 na不是等比数列，所以“数列 n既是等差数列又是等比数列”是“ 是常数列”的充分不必要条件，故选 A5若实数 x、 y满足0xy，则 2zxy的最大值为（ ） A 0B 1C32D 2【答案】D【解析】解：根据题意，作出可行域如图
3、所示： 0,1() z=x+2 yx y=0x+ y=1xyO目标函数 z表示斜率为 2的直线12xz的纵截距的 2倍，由图可知，当 2zxy，过点 (0,1)时， 取得最大值，将 (0,)点代入 y，得 maxz故选 D6下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg10xy的定义域和值域相同的是（ ） A yxB lC 2xyD1yx【答案】D【解析】解：根据题意得，函数lg10xy的定义域为： (0,)，值域为： (0,)，项， yx，定义域和值域都是 R，不符合题意B项， lg，定义域为 (,)，值域是 ，不符合题意C项， 2xy，定义域是 ，值域是 (0,)，不符合题意D项，1，定义域是
4、(,)，值域是 (,)，与lg10xy的定义域和值域都相同，符合题意故选 7执行如图所示的程序框图，输出的 k的值为（ ） A 3B 4C 5D 6a始14k=+1a=qk=0,a=3,q=12否 是输 出 k始始【答案】B【解析】解： 0k， 3a，12q；3a， 1k；34a， 2k；38a， k；316a， 4k；此时满足判定条件 4？故输出 k的值 故选 B8定义在 R上的偶函数 ()fx满足 (1)(ffx，且在区间 1,0上单调递增，设 (3)af，(2)bf， ()cf，则 a、 b、 c大小关系是（ ） A aB bC bcaD cb【答案】D【解析】解：函数 ()fx定义在
5、R上且满足 (1)(fxf，故 (3)21af， (2)2)bf ， (2)1(0)cff x为偶函数， ()()ff，又 在 1,0上单调递增，且 120，故 ()2)(fff，即 abc故选 D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在横线上9设 i是虚数单位，则1i_【答案】 【解析】复数21i(i)i10等比数列 na满足 13， 13521a，则 357a_【答案】 42【解析】解：等比数列 n中， 1，241351()1q，2417q，解得： 或23（舍去） 43571()aaq4211从 A、 B、 C、 D、 E， 5名学生中随机选出 2人， A被
6、选中的概率为_【答案】25【解析】解：从 、 、 、 、 ， 5名学生中随机选出 2人，基本事件总数2510nC， A被选中包含的基本事件个数41mC，所以 A被选中的概率为205Pn12过点 (2,0)M作圆21xy的两条切线 MA、 B（ 、 为切点） ，则 MAB_【答案】3【解析】解：设切线斜率为 k，则切线方程为 (2)ykx，即 20kxy，圆心到直线的距离 2|1dk，解得3k， ,60MAB，2|13AMBO，故|cos60313 ABC 中，角 、 B、 C所对应的边分别是 a、 b、 c，若 3a， 2b，1cos()3AB，则边c_【答案】 17【解析】解：1cos()c
7、s()3AB，可得1cos3C，又 3a， 2b，由余弦定理可得： 2cscab21331714设函数21()4)(xaf x若 1a，则 f的最小值为_若 ()fx恰有 2个零点，则实数 a的取值范围为_【答案】 1；,2,)【解析】 a时，1,()4)(2,1xf x，当 1x时， ()1,fx， f无最小值当 时， ()f的最小值为322f，故函数 x的最小值是 1分段考虑函数 ()f的零点当位于直线 x左侧时， 2xya单调递增，且在 1x时取值范围为 (,2)a，于是只有当 02a时，函数 ()f在直线 1左侧存在零点当位于 右侧（含 ）时，考虑 4()2ya的两个零点为 1x， 2
8、，分别与 1x比较，划分区间讨论，可得函数 ()fx在 1 时的零点个数为0,12,a，所以，当 ()fx的两个零点有一个在 左侧，一个在 1x右侧时，1(,2),2a当 f的两个零点都在 1x右侧时， 2,),2,)a综上可得，当函数 ()fx有两个零点时， a的取值范围是1,2,)三、解答题（本大题有 6 个小题，共 80 分）15 （本小题满分 13分）已知函数2()=3sincosfxx（）求 ()fx的最小正周期（）求 ()f在区间,63上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】解：（）2()sincosfxx31cos2sin2xi6（）,3x，52,6，1sin,2x，3()0,f
9、， ()fx在区间,6上的最大值和最小值分别是32， 016 （本小题满分 13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于 45至 70之间，将数据分成以下 5组，第一组 45,0，第二组 50,，第三组 5,60，第四组，第五组 6,，得到如图所示的频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，从第 3、 4、 组中随机抽取 名学生做初检（）求每组抽取的学生人数（）若从 6名学生中再次随机抽取 2名学生进行复检，求这 2名学生不在同一组的概率0.7.60.5.40.3.20.1 6554506070千 克频 率组 距【答案】见解析【解析
10、】 （）由频率分布直方圆知，第 3、 4、 5组的学生人数之比为 3:21，所以，每组抽取的人数分别为：第 3组：63，第 4组：2，第 5组：16，所以从 3、 、 5组应依次抽取 3名学生， 2名学生， 1名学生（）解：记第 组的 为同学为 1A， ， 3，第 4组的 2位同学为 1B， 2，第 5组的一位同学为 C，则从 6位同学中随机抽取 位同学所有可能的情形为： 12(,)A， 13(,） ， 1(,)AB， 12(,)， 1(,)AC，23(,)AB， 21(,)， 2(,)AB， 2(,)， 31(,)AB， 3， 3C， 2， ， ，共 5种可能，其中 名学生不在学生不在同一组
11、的有： 1(,)， 2(,)B， 1(,)， 1(,)， 2(,)， 2(,)，31(,)， 32(,)， 3(,)C， 1(,) ， 2,)C共 种可能故所求概率 5P19 （本小题满分 14分）已知椭圆 C的中心的中心在中心在坐标原点，焦点在 x轴上且过点13,2P，离心率是32（ 1）求椭圆 C的标准方程（ ）直线 l过点 (1,0)E且与椭圆 C交于 A、 B两点，若 |2|EAB，求直线 l的方程【答案】见解析【解析】解：（ 1）设椭圆 的方程为21(0)xyab，由已知可得22314cabc，计算得出 2a， 21，故椭圆 C的标准方程为24xy（ 2）由已知，若直线 l的斜率不存
12、在，则过点 (1,0)E的直线 l的方程为 1x，此时31,A，31,2B，显然 |2|AB不成立若直线 l的斜率存在，则设直线 l的方程为 (1)ykx，由214()xyk得22(4)840kxk，2816，设 1(,)Axy， 2,By，则 224k，式，12xk， |EAB， ，则 123x，式，联立计算得出56k，直线 l的方程为 10xy或 1560xy20 （本小题满分 14分）设函数()lnexbfa，曲线 ()yfx在点 (1,)Pf处的切线方程为e()2yx（）求 a、 b（）设()e(0)xg，求 ()gx的最大值（）证明函数 f的图像与直线 1y没有公共点【答案】见解析【
13、解析】解：（）函数 ()fx的定义域为 (0,)，()lneln(e)xxbbfxaa 2lx由题意可得 (1)f， ()ef，故 a， eb（）2()xg，则 ()e1)xg，当 0,1x时， ()0，当 ,时， (0gx， ()g在 上单调递增，在 ()上单调递减， x在 0,)的最大值为1eg（）由（）知12(elnxxf，又0(1)eln21f，函数 x的图像与直线 y没有公共点等价于 ()1fx，而 ()1f等价于2lex，设函数 lnhx，则 ()ln1h，当0,e时， ()0x，当1x时， ()h， ()h在0,e上单调递减，在1,e上单调递增， ()x在 ,)的最小值为h，综上，当 0时， ()xg，即 ()1f，故函数 x的图像与直线 1y没有公共点
