1、页 1 第2018 届重庆市实验中学高三上学期期末考试数学理模拟试题（解析版）第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）A. 必有 1 个 B. 1 个或 2 个 C. 至多 1 个 D. 可能 2 个以上【答案】C【解析】集合 A=（x，y）|y=f（x），xD，B=（x，y）|x=1，当 1D 时，直线 x=1 与函数 y=f（x） ，有一个交点，当 1D 时，直线 x=1 与函数 y=f（x） ，没有交点，所以 AB 中元素的个数为 1 或 0故答案为：
2、C.2. 已知复数满足 ，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由条件知道 ，由虚部的概念得到 。故答案为 C。3. 已知向量 是互相垂直的单位向量，且 ，则 （ ）A. B. 1 C. 6 D. 【答案】D【解析】向量 是互相垂直的单位向量，故 ,故答案为：D。4. 已知 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C页 2 第【解析】由 ，得 则 由 得 ，由抛物线的性质可得| 故选 C5. 在数列 中，已知 ，则 的前 项和 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由 ，故选 D考点：数列求和6. 某班某学
3、习小组共 7 名同学站在一排照相，要求同学甲和乙必须相邻，同学丙和丁不能相邻，则不同的战法共有（ ）种.A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，分 步进行分析， 因为甲和乙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有 种情况，将除去甲、乙、丙、丁剩下的 个人和整体看成 ，有 种情况，元素不相邻利用“插空法” ；则共有 种情况，故选：A 考点：排列与组合【方法点睛】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法；根据题意，分 步进行分析， 因为甲和乙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，将除去甲、
4、乙、丙、丁剩下的 个人和整体看成 人，元素不相邻利用“插空法” ，进而由分步计数原理计算可得答案7. 如图程序框图，若输入 ，输出的 ，则判断框内应填的条件为（ ）A. 1 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.1【答案】B页 3 第【解析】当第一次执行， 返回，第二次执行 ，返回，第三次，要输出 x,故满足判断框，此时 ，故选 B. 8. 若 在区间 内恰有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意, ，则 ，即 ，解得 ，另外,当 时, 在区间(1,1)恰有一个极值点 ，当 时,函数 在区间(1,1)没有一个极值点，实数的取值范围为 .故选：B.9
5、. 满足 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数为（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 得 ，即直线的截距最小， 最大若 ，此时 ，此时，目标函数只在 处取得最大值，不满足条件，若，目标函数 的斜率 ，要使 取得最大值的最优解不唯一，则直线与直线 平行，此时 ，若 ，不满足，故选 C页 4 第考点：简单的线性规划10. 设 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立，则 的最大值为 ，故选 D考点：基本不等式【易错点睛】本题主要考查了基本不等式基本
6、不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“ 拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“ 正”“定”“ 等” 的条件11. 已知 是双曲线 的右焦点，过点 的直线交 的右支于不同两点 ，过点 且垂直于直线的直线交 轴于点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当直线 的斜率不存在时， ， ， ， ，则页 5 第，故排除 A；当 时，直线 为 ，直线 为 ，设 ， 联立得 ，化简得 ，由韦达定理得 ，故 ， ，故
7、 ，故排除 C，D，故选B考点：直线与圆锥曲线的综合12. 已知函数 （ 是自然对数的底数） .若 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 f（m）=2ln f（n）得 f（m）+f（n）=1 f（mn）=1 =1 ，又 lnn+lnm+2=（lnn+1）+（lnm+1）（ ）=4+ 4+4=8，lnn+lnm6，f（mn）=1 ，且 m、ne， lnn+lnm0，f（mn）=1 1， f（mn）1，故选：C点睛：这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用；一般解决二元问题，方法有：不等式的应用；二元化一元的应用；变量集中的应用；都是解决而原问题的
8、常见方法。其中不等式只能求出一边的范围，求具体范围还是要转化为函数。 第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13. 在等差数列 中，已知 ，则 的前 项和等于_【答案】14【解析】设等差数列 的公差为 ，则 则 的前 项和 即答案为 14 页 6 第14. 函数 的单调递增区间是_ 【答案】【解析】化简可得 y=sinxcos +cosxsin =sin（x+ ），由 2k x+ 2k+ 可得 2k x2k+ ，kZ，当 k=0 时，可得函数的一个单调递增区间为 ， ，又由 x0， 可取交集得 x0， ，故答案为：0， 15. 若圆 与圆 相交于
9、 两点，且两圆在点 处的切线互相垂直，则线段 的长度是_ 【答案】4【解析】由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直,且过对方圆心 .则在 中,，所以斜边上的高为半弦，用等积法易得：.故答案为：4.页 7 第【答案】【解析】f（x+2）=f（x）f（1），且 f（x）是定义域为 R 的偶函数，令 x=1 可得 f（1+2）=f（1）f（1），又 f（1）=f（1），f（1）=0 则有 f（x+2）=f（x），f（x）是最小正周期为 2 的偶函数当 x2，3时，f （x）=2x2+12x18=2（x3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线函数 y=f（x）
10、loga（|x|+1）在（0，+）上至少有三个零点，令 g（x）=loga（|x|+1） ，则 f（x）的图象和 g（x）的图象至多有 3 个交点可以分两种情况：其一是有交点时，其二是一个交点也没有，当一个交点都没有时，即 a1.当有交点时，f（x）0， g（x）0，可得 0a1，要使函数 y=f（x）loga（|x|+1）在（0，+）上至多有三个零点，则有 g（4） ，解得，又 0a 1， a1，故答案为： 。点睛：此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键。其二是考查了函数的零点问题和图像的交点
11、问题的转化。三、解答题：(17)-（21）每题 12 分共 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。17. 已知数列 的前 项和 .（1）证明： 是等比数列，并求其通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由条件知道 ，两式子做差可得 ，移项得到 。（2）根据第一问得到 ，由错位相减的方法求和即可.（1）证明：当 时， ，由 得 ，即 ，所以 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，于是 .（2）解：令 ，则 ，页 9 第 得 ，得 所以 .18. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 .（1）求 ；（2）若 ，求 的面积
12、 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）运用余弦定理可得解；（ 2）结合（ 1）将已知条件利用 ，利用两角和的正弦可得 ，运用正弦定理得边 ，最后求三角形面积试题解析：（1）因 ，且 ，故 ；（2 ）法一：由题 ，故 ，知 ，因此 ，从而，因此 考点：正弦定理；余弦定理；三角形面积公式【一题多解】该题中求三角形的面积还可采用：法二：由题及正弦定理可得 ，又 ，故 ，解得 ，故法三：过 作 于 ，由题 ，而 ，故 ，知 ，因此， ， ，故 ，从而得解19. 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：（1）求 关于的线性回归方程；（2）
13、利用（）中的回归方程，分析 2007 年至页 10 第2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出 b 的值，再求出 a 的值，写出线性回归方程（2 ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 t 的值，预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值.试题解析：（1）由题意， ,y 关于 t 的线性回归方程为
14、； 8 分（2 ）由（1 ）知，b=0.50，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元将 2015 年的年份代号 t=9 代入 ,得： (千元)故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元左右. 12 分考点：线性回归方程【易错点睛】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真算出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，要求学生具有较好的数字运算能力，计算就是一个易错点.注意运算的准确性.视频20. 已知 ， ，动点 满足 ，其中 分别表示直线 的斜率，为常数，当时，点 的轨迹为 ；当 时，点
15、 的轨迹为 .页 11 第（1）求 的方程；（2）过点 的直线与曲线 顺次交于四点 ，且 ， ，是否存在这样的直线，使得 成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用直接法求动点 的轨迹 ；（2 ）利用直接法求出 的方程为 ，假设存在直线满足题意，将等差数列转化为 ，结合弦长公式可得 ，令 可得方程无解，即不存在试题解析：（1）设 ，即 ，化简得 ，此即为 的方程；（2 ）如（1 ）易得 ，假设存在这样的直线 ，则由题可知，由 得 ，故，易得 ，故 ，令，则可得 ，令 ，则，故 ，因此 无解，所以不存在这样的直线满足题
16、意考点：曲线的轨迹方程；直线与圆锥曲线相交21. 已知 ，函数 .（1）若函数 在 上为减函数，求实数的取值范围；（2）令 ，已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由条件知函数单调递减则则需 在 上恒成立,即 在 上恒成立，转化为求函数最值问题。 （2）若对任意 ，总存在 .使得 成立，则，函数 在 的值域是 在 的页 12 第值域的子集.分别求两个函数的值域，转化为集合间的包含关系即可。（1）因为 ，要使 在 为减函数，则需 在 上恒成立 . 即 在 上恒成立，因为 在 为增函数，所以 在 的最小值为 ，所以 .
17、（2）因为 ，所以 .，当 时， ， 在 上为递增，当 时， ， 在 上为递减，所以 的最大值为 ，所以 的值域为 .若对任意 ，总存在 .使得 成立，则，函数 在 的值域是 在 的值域的子集.对于函数 ，当 时， 的最大值为 ，所以 在 上的值域为 ，由 得 ；当 时， 的最大值为 ，所以 在 上的值域为 ，由 得 或 (舍）.综上所述， 的取值范围是 .点睛：这个题目考查了导数在研究函数单调性和函数最值范围问题的应用；均是转化为了函数恒成立求参的问题。恒成立有解求参的问题一般可以转化为变量分离求最值问题；或者转化为一个函数在另一个函数的上方。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多
18、做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分 10 分。22. 选修 4 - 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为页 13 第( 为参数） ，在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求 的普通方程和的倾斜角；（2）设点 和 交于 两点，求 .【答案】 （1） 的普通方程为 ，直线的斜率角为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）由参数方程消去参数 ，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线 l 的倾斜角（2）设出直线 l 的参数方程，代入椭圆方程并化简，设 A，B 两点对应的参数分别为
19、 t1，t2，利用参数的几何意义求解即可试题解析：（1）由 消去参数 ，得即 的普通方程为由 ，得 将 代入得所以直线的斜率角为 .（2）由（1）知，点 在直线上，可设直线的参数方程为 (为参数)即 (为参数)，代入 并化简得设 两点对应的参数分别为 .则 ，所以页 14 第所以 .23. 选修 4 - 5：不等式选讲已知函数 .（1）求不等式 的解集 ；（2）设 ，证明：【答案】 （1） 或 ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）因为 ，要证 ，只需证 ，即证 ，平方作差即可证得不等式成立试题解析：（1）解：当 时，原不等式化为 解得 ；当 时,原不等式化为 解得 ，此时不等式无解；当 时，原不等式化为 解 .综上， 或 （2）证明，因为 .所以要证 ，只需证 ，即证 ，即证 ，即证 ，即证 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 成立.所以原不等式成立.
