1、2018 届浙江省镇海中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题1若集合 ， ，则2lgxMxy1NxMNA. B. C. D. 0， ， ， 0，【答案】C【解析】集合 , .2lg|2xxyx1Nx.|MN，故选 C.2等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于nanS32618S105sA. -3 B. 5 C. -31 D. 33【答案】D【解析】等比数列 中， ，所以 .na36Sq363182S所以 .2q.5510513ssq故选 D.3若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 15 B. 20 C. 25 D. 30【答案】B【解析】如图所示，四棱锥 为该几何体的直
2、观图.PABCD该几何体的体积 .134V5203Sh故选 B.4将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右sin46fx平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 图象的一条对称轴是6ygxygxA. B. C. D. 12x6x3x23x【答案】C【解析】将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,sin46f可得函数 的图象，32yix再向右平移 个单位长度,可得 的图象,故6323266ysinxsinx32.gxsin令 ，得到 .,6kZ,32kxZ则得 图象的一条对称轴是 ，ygx故选：C.点睛：研究三角函数 的性质，最小正周期为 ，最大值为 .fAsinx2A求
3、对称轴只需令 ，求解即可，2,xkZ求对称中心只需令 ，单调性均为利用整体换元思想求解.,xkZ5设 ， 是两条直线， ， 表示两个平面，如果 ， ，那么“abaa/”是“ ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】如果 ， ， ，则必有 ，充分性成立；a/bba如果 ， ， ，不能保证 ，有可能平行呢，必要性不成立./ 故“ ”是“ ”的充分不必要条件.b故选 A.6已知抛物线 的焦点为 ， 为原点，若 是抛物线上的动点，则24yxFOM的最大值为OMFA. B. C. D. 36236【答案】C【解析】焦点 ,设 ,则 ,设 M
4、到准线 x=1 的距离等于102FMmn24,0d，则 222 241111OMnmmF令 ,则 ，21,mt2t当且仅当 t=3 时,等442311(9636tMFt t 号成立).故 的最大值为 ，OF23故选 C.7函数 的图象大致是31xyA. B. C. D. 【答案】C【解析】 的定义域为(,0)(0,+) 排除 A，31xy当 x0 时, 0, 0，故 y0，3当 x0，排除 B，x当 x 趋向于无穷大时, 增长速度不如 1 增长的快，故所对应的 y 的值趋向于 0，33x排除 D.只有 C 符合，故选：C.8已知 ， 分别为双曲线 的中心和右焦点，点 ，OF2:10xyEabb
5、， G分别在 的渐近线和右支， ， 轴，且 ，则 的MEFGOMxOFE离心率为 A. B. C. D. 52672【答案】D【解析】设 ,则 ，Mmn,aGbFGOG , ，1,cc ，2241,mnacab|OM|=|OF|, ，242bc ，2,aea故选 D.9在平面内， ，动点 ， 满足 ， 6ABCACBPM2AP，则 的最大值是PMA. 3 B. 4 C. 8 D. 16【答案】D【解析】由 ，6ABCACB得 .0,0,0CB所以 是等边三角形，设 的边长为 ，则 ，AAx226xAcos得 .23x以 BC 为 x 轴,以 BC 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则 ，30,03
6、BCA由 ，得点 P 满足： .2A 224x则 为 PC 的中点，PM设 ，则 ，满足： ，,xy3,2xy2234xy整理得： ，即点 M 在以 为圆心，1 为半径的圆上，21 ,则 的最大值是圆心到 B 的距离加半径： BM.2230134故选 B.点睛：对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合， “代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错10若 沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的 为ABC ABC“和谐三角形” ，
7、设 的三个内角分别为 ， ， ，则下列条件不能够确定ABC为“和谐三角形”的是 A. ； B. :7:205sin:si7:205C. D. coscs:2ta:nta:【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足1+2 3，当ABC 为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当ABC 为锐角三角形时，在斜边中点 E 处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当ABC 为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：ABC 一定是锐角三角形，A.A:B:C= ，ABC 是锐角三角形，故是和谐三角形，:7:205ABCB.
8、 ， ,ABC 是钝sinsi 22:7:05,abcabc角三角形，故不是和谐三角形，C. ，ABC 是锐角三角形，故是和谐三角形，co:c:D. ，ABC 是锐角三角形，故是和谐三角形，tata7205故选 B.点睛：在解三角形中，要注意应用以下条件：（1）三角形的内角和为 180；（2）大边对大角，大边对大弦；（3）三个内角的余弦最多有一个负数，正切也是.二、填空题11某圆锥的侧面展开图是面积为 且圆心角为 的扇形，此圆锥的母线长为323_，体积为_.【答案】 3 2【解析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知 ,且 ，rl132l解得 r=1，l=3，圆锥高 ，9hr此圆锥的
9、体积 .221133Vh圆锥的母线长为 3，体积为 .12函数 的最小正周期是_，单调递增区间是2sinicos1fxx_.【答案】 ， 3,8kkZ【解析】 .21223sinicos1sin42csxinfxx x最小正周期 .T令 ，解得 .22,4kxkZ3,88kxkZ所以单调递增区间是 ， .3,8点睛：研究三角函数 的性质，最小正周期为 ，最大值为 .fxAsinx2A求对称轴只需令 ，求解即可，2,kZ求对称中心只需令 ，单调性均为利用整体换元思想求解.x13已知数列 中， ， ， ，若数列 单调递na1a2a2nna增，则实数 的取值范围为_， _nS【答案】 0,2【解析】
10、数列 满足 即为，奇数项成公差为 2 的等差数列，偶数项成na2na公差为 2 的等差数列，公差相等，所以若使得数列 单调递增，只需 ,na123a即 ，解得 .0121321242nnnSaa .214设实数 、 满足 ，则 的最大值为 _， xy2248xyxy的最小值_24【答案】 163【解析】由 得： .228xy2238xy令 ，解得： .32xcosyin23 cosxyin4226242cos63cossxincosi，当 时， 的最大值为 .cos16xy4.22 22168816324()() 12cos33333 3coscosxy incosincoscossin 当
11、时， 的最小值为 .cos124xy15在如图所示的可行域内（阴影部分且包括边界） ，若目标函数 取得最小zxay值的最优解有无数个，则 的值为_a【答案】-1.【解析】由题意知 .0a即为： ，zxyxz当 时，则仅在 A(2,0)处有最小值；0a当 时，则当 与 AC 平行时取得最小值，且最优解有无数个，a此时 ，解得 .124116圆 上任意一点 ，过点 作两直线分别交圆于 ， 两点，且xyPAB，则 的取值范围为_60APB2AB【答案】 3,【解析】在 中，由正弦定理得： ,设2PABrsinsi0,12PBA，又 ，所以 ，60APB120120PABA.2,sinsi.2224i
12、103343242sin6i sinsicosinco. .70, ,364i,6答案为： .,17设函数 ， ，若关于 的方程 有且仅有三3fxaxaRx2f个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数 的取值构成的集合_ 【答案】 .95,8【解析】 .3,3 2,xafxa由 ，解得， 或 3.32x1当 时， 时 有两个根 或 3，1aa2fx1因为方程 有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，所以另一个根为f-5.即 ，且 ，解得 ，满足题意；5a325a95当 时， 时 有两根，设为 ， 时 有一1x2f 12,xa2fx根为 3，且有 .12即 的两根为 .有 ， 2xa30xa
13、x12,x12x1解得 ,因为 ，所以 ；538a13a538当 时， 最多有两个根，不符合题意.2fx综上实数 的取值构成的集合为 .a953,8三、解答题18已知 的内角 的对边分别为 ，且ABC, ,abctan3coscb（1 ）求角 ；（2 ）若 ，求 面积的最大值.AB【答案】(1) ;(2) 面积取最大值 .60CC3【解析】试题分析：（1）利用正弦定理与和差公式即可得出（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出试题解析：(1) ，由正弦定理得tan3coscBbA，sinta3sincosiCABA，3C， ，0si0， .tan36(2)由余弦定理 得：
14、 22coscab2 21os0bab， .a1in3ABCS当且仅当 时， 面积取最大值 .23319在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，过 作xOy2:Cxpy0,1FO斜率为 的直线 交抛物线于 （异于 点） ，已知 ，直线 交抛物线于另klA0,5DA一点 .B（1）求抛物线 的方程；C（2） ，求 的值.OABFk【答案】(1) ;(2) .2:4xy52【解析】试题分析：（1）由抛物线 的焦点为 ，结合题意得抛物线方xpy0,2P程；（2）已知直线 代入抛物线方程： ，消去 ， ，得:OAyk24y240xk，直线 与直线 联立得得 ，由 在抛物线24,kBF22165k
15、B， B上可解得 .C试题解析：（1）由题意， ，所以 ，所以抛物线12P2p2:4Cxy（2）已知直线 代入抛物线方程： ，消去 ， ，得:OAykx 240xk；24,k.5,0AD直线 ，代入抛物线方程： ， 24:kByx 24xy，得 .250xk25,4Bk.224,1OAF由 得 ，解得 .OABF20450kA52k20多面体 ， ， ， ， ， 1C11 BC14A1B4A， ， 在平面 上的射影 是线段 的中点. 13 E（1）求证：平面 平面 ；ABC1A（2）若 ，求二面角 的余弦值.12EC【答案】(1)见解析；（2） .6【解析】试题分析：（）过 E 作 EOA 1
16、A 交 AB 于 O，连接 CO，证明四边形OEC1C 是平行四边形，推出 C1E面 ABB1A1，得到 CO面 ABB1A1，然后证明面ABC面 ABB1A1；（）以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面 AB1C1 的法向量，底面 A1B1BA的法向量，利用空间向量的数量积求解即可试题解析：(1)证明：过 E 作 EO A 交 AB 于 O，连接 CO，1由梯形的中位线知： ，132B ,又 ，1OC1故四边形 OE C 是平行四边形， E面 ，则 CO面 ，1C1AB1AB又 CO 在面 ABC 内，面 ABC面 ；1（2）如图以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系, ，11120
17、,0,32,0CEABC，设面 的法向量为 ，14,3B1AB,mabc则 即 .1 0mA， 4 20abc不妨令 ，得 .a,设面 的法向量为1CB,nxyz则 即 .0 nA， 420 不妨令 ，得 .1x,1.6cos,mnA所求二面角的平面角为锐角，故余弦值 .6点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设 ， 分别为面 ，面 ，则二面角与 互补或相等.求解时一定mn1CAB1,mn要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角21已知椭圆 的四个顶点组成的四边形的面积为 ，且2:0xyab2经过
18、点 .1,2（1 ）求椭圆 的方程；C（2）若椭圆 的下顶点为 ，如图所示，点 为直线 上的一个动点，过椭圆PM2x的右焦点 的直线 垂直于 ，且与 交于 两点，与 交于点 ，四边FlOC,ABON形 和 的面积分别为 .求 的最大值.AMBON12,S1【答案】 （1） ；（2） .2xy12max【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为 ， ，又 在椭圆 上，所以 ，2abb,2C21ab解方程组得 ， 21（2）先确定面积计算方法： ， ，再确定计算方向：SOMAB21NSx设 ，根据,Mt两点间距离公式求 ，根据两直线交点求 点横坐标，再根据直线
19、方程与椭圆方程N联立方程组，结合韦达定理求弦长 ，最后根据 表达式形式，确定求最值方法12S（基本不等式求最值）试题解析：（1）因为 在椭圆 上，所以 ，2,C21ab又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为 ，所以 ，2,2aba解得 ，所以椭圆 的方程为2,1abC21xy（2） 由（1）可知 ，设 ，1,0F122,MtAxyB则当 时， ，所以 ，0t:tOyxBkt直线 的方程为 ，即 ，ABt0yt由 得 ，21 0yxt228168txt则 ，2242640ttt，121228,xxtt，22244488tABtt又 ，所以OM，22221 4414288tttSABt由 ，得 ，
20、所以 ， 2yxt24NXt22214Stt所以 ，2212 2 2248484tttSt tt当 ，直线 ， ， ， ， 0t:1lxAB1S1S，12S所以当 时， .0t12maxS点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.22已知数列 满足上： ， .na1a2*1
21、3nnabnN（1）若 ，证明：数列 是等差数列；b2n（2）若 ，判断数列 的单调性并说明理由；21（3 ）若 ，求证： .321346na 【答案】 （1）依题意 ， 恒为常数；（2）见解析；ba（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，平方即可证22131nnna明；（2）先由 在 上单调递减得 ，23fxx0,31fx进而得当 时， ，即当 时， 与01na1nnaf10ana同号，即 ，由 ，分析n 1122233nnn得 ， 单调递减， 单调递增；2210,0nnaa21a2na（3）由 ，得 与 异号，21 233nnnna 1n2n由 222121 21 1212 213 5
22、3 43nnn n nnn naa aaaa ，求和即可证得.试题解析：（1）依题意 ， ，平方得：1b22131nnnaa恒为常数.22na（2）显然 ， ，0n21nn在 上单调递减，23fxx0,，,故当 时， ，即当 时， 与 同号01na1nnaf10a1nna，01na 11222111223333nnnnnaaaa，与 异号，且 ，120,nna1n310a， 单调递减， 单调递增，21na21na2n（3）， 与 异号，21 233nnnnaaa 12nan， ， ， ， .102210n210n221nn*N22 22121 212 21333nn nnn nn naaaa .2121543nnaa 11321 411222423nnnaa .132146na
