1、第页 12018 届重庆市江津中学校高三 4 月月考数学（理）试题（word 版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若 iia21，则 a（ ）A 5 B i5 C i5 D i52.已知集合 032|,)3(|xx，则 BA（ ）A 0|x B 1| C | D 3|x或 13.等差数列 na的前 项和为 nS，且 5,782Sa，则 8a（ ）A 8 B 9 C 0 D 4.执行如图的程序框图，则输出 x的值是（ ）A 2016 B 1024 C. 21 D 15.已知实数 yx,满
2、足不等式组 0yx，则 |23|yxz的最大值为（ ）A 0 B 3 C. 9 D 16.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）第页 2A 43 B 32 C. 1 D 317.某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题为“听” 、 “说” 、 “读” 、 “写”四场竞赛.规定：每场竞赛的前三名得分分别为 cba,（ ，且 *,Ncba） ，选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在第四场竞赛中，已知甲最终得分为 15分，乙最终得分为 7分，丙最终得分为 10分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的前三名是（ ）A甲 B乙 C.丙
3、 D甲和丙都有可能8.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个 32的长方体框架（如图） ，小红欲从 A处行走至 B处，则小红行走路程最近的路程共有（ ）A 360种 B 210种 C. 60种 D 30种9. cos)7tancos2( （ ）A 1 B 23 C. 1 D 310.如图，半径为 的扇形 AO中， PB,2是弧 AB上的一点，且满足 NMOBP,分别是线段 O,上的动点，则PNM的最大值为（ ）第页 3A 2 B 23 C. 1 D 211.如图，已知抛物线 1C的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，且过点 )4,2(，圆 034:22xyC，过圆心 2的直线 l与抛物线和圆分别交于
4、 NMQP,，则 |QP的最小值为（ ）A 3 B 4 C. 2 D 5212.已知实数 yx,满足 )3ln()ln(3yxyx，则 yx（ ）A 512 B 51 C. 716 D 718第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 )1,(cos),1sin(),1(sinba ，且cba/)2(，则 2sin等于 14.在 x)(3展开式中，只有第 7项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 15.下图是两个腰长均为 cm10的等腰直角三角形拼成的一个四边形 ABCD，现将四边形 ABCD沿 折成直二面角 CBDA，则三棱锥 BCDA的
5、外接球的体积为 3cm16.设椭圆 C的两个焦点是 21F、 ，过 1的直线与椭圆 C交于 QP、 ，若 |21F，且|6|51QFP，则椭圆的离心率为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 na的前 项和是 nS，且 n是等差数列，已知 6432,1Sa.（1）求 的通项公式；第页 4（2）若 212nnab，求数列 nb的前 项和 nT.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有 40名学生，试估计全校学生中，每天学习不足 4小
6、时的人数.（2）若从学习时间不少于 小时的学生中选取 4人，设选到的男生人数为 X，求随机变量 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差 21S与女生学习时间方差 2S的大小.（只需写出结论）19. 如图，在四棱锥 ABCDP中，侧面 PA底面 BCD，底面 A是平行四边形 ,45ABC,2ADE,2为 的中点，点 F在线段 P上.（1）求证： PCAD；（2）试确定点 F的位置，使得直线 EF与平面 PDC所成的角与直线 EF与平面 ABCD所成的角相等.20. 已知 B,分别为椭圆 124:yx的左、右顶点， 为椭圆 上异于 ,两点的任意一点，直线PA,的斜率分别记为 1,k.（1）求 2
7、1,k；第页 5（2）过坐标原点 O作与直线 PBA,平行的两条射线分别交椭圆 C于点 NM,，问： O的面积是否为定值？请说明理由.21. 已知 Ra，函数 2)1ln()2axxf .（1）若函数 )(xf在 ,1上为减函数，求实数 的取值范围；（2）令 b,，已知函数 2)(xbxg，若对任意 ),1(x，总存在 ),12x，使得 )(21xgf成立，求实数 b的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 1C的极坐标方程是 sin3co42，以极点为原点 O，极轴为 x轴正半轴（两坐标系取相
8、同的单位长度）的直角坐标系 xOy中，曲线 2C的参数方程为： sincoyx（ 为参数）.（1）求曲线 1的直角坐标方程与曲线 2的普通方程；（2）将曲线 2C经过伸缩变换 yx后得到曲线 3，若 NM,分别是曲线 1C和曲线 3上的动点，求|MN的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲已知 )(|1|2|)(Raxxf .（1）当 a时，解不等式 2f.（2）若不等式 |)(xxf 对 x恒成立，求实数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCDDC 6-10:CBBAC 11、12：AC二、填空题13. 132 14. 20 15. 350 16. 19三、解答题第页 617.解：
9、（1）记 1,1Scn，又 nc为等差数列，公差记为 d，2,342c，得 2,dn，得 2nSnn时， 1,1Sann时也满足.综上 an.（2）由（1）得 21)2(2bn)1()413()(nTn2.18.解：（1）由折线图可得共抽取了 20人，其中男生中学习时间不足 4小时的有 8人，女生中学习时间不足 4小时的有 人.可估计全校中每天学习不足 4小时的人数为： 2014人.（2）学习时间不少于 本的学生共 8人，其中男学生人数为 人，故 X的所有可能取值为 4,3210.由题意可得 701)(48CXP； 3587016)(483CXP； 5876)2(482CP；356)3(481
10、； )(48.所以随机变量 X的分布列为 01234P71358351858701均值 704670260EX.（3）由折线图可得差 1S.（只需写出结论）19.（1）证明：在平面四边形 ABCD中，连接 ，因为 45,2,ABCAB，由余弦定理得 45cos2482 ，得 C，所以 90ACB，即 ，又 /，所以 D，又 2,P，所以 APAD,，所以 A平面 ，所以 C.第页 7（2）侧面 PAD底面 ADPBC,，所以 P底面 ABCD，所以直线 APD,两两相互垂直，以 为原点，直线 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 xyz，则),02(),0()2,0(,1(,PEBC，所以 )
11、2,(),20(),20( PBPDC，设)(PF，则 ,FF，所以 1EF，易得平面 AD的法向量 ),(m.设平面 的法向量为 ),(zyxn，由 0DnC，得 02zxy，令 1x，得 1,n.因为直线 与平面 PD所成的角和此直线与平面ABC所成的角相等，所以 |,cos|,cos| nEFEF，即 | nEFm，所以|32|1|，即 )1(，解得 23，所以 23PB.20.（1）设 ),(0yxP，则 2142002021 yxyxk；（2）由题知，直线 OM1:，直线 kON:，设 ),(),(1xNM，则 |)(|21|2|1 212112 xxkxyxS ，由 2121124
12、kxky，同理可得 224，故有 1)(464)(4 2121221212 kkS第页 8，又 21k，故 2,8)(216421SkS.21.（1）因为 ),(,)ln)( xaxf ，要使 xf在 ,为减函数，则需 0)(f在 1上恒成立.即 12a在 )上恒成立，因为 2x在 ),为增函数，所以 12x在 ),的最小值为 3，所以 .（2）因为 ，所以 ),1(,)1ln()2axf .321)(xxf，当 01时， )(,0)(xff在 )0,1上为递增，当 x时， x在 上为递减，所以 )(f的最大值为 2)(f，所以 )(xf的值域为 )2,(.若对任意 ,1x，总存在 ,1.使得
13、 1xgf成立，则，函数 )(f在 )的值域是 )(xg在 )的值域的子集.对于函数 222 bbxg，当 1b时， )(的最大值为 1)(，所以 )(xg在 ),1上的值域为 1,(b，由得 3；当 时， )(xg的最大值为 2)(bg，所以 )(在 ),上的值域为 ,(2，由2b得 （舍）.综上所述， 的取值范围是 ),13,(.22.（1） 1C的极坐标方程是 24sin3co4,sinco42 ，整理得1,0243yx的直角坐标方程为 0yx.曲线 ,sinco:22yx，故 2C的普通方程为 12yx.第页 9（2）将曲线 2C经过伸缩变换 yx2后得到 3C的方程为 1482yx，
14、则曲线 3C的参数方程为sincoyx（ 为参数）.设 )sin,co(N，则点 N到曲线 1的距离为5|24i(412|5sin2324| d )324(tan5)si.当 1)sin(时， d有最小值 ，所以 |MN的最小值为 412.23.（1）当 a时，等式 2)(xf，即 2|1|x，等价于 12x或 1x或 x，解得 32x或 4，所以原不等式的解集为 ),4()32,(；（2）设 xaxxfg|1|)( ，则 2,39,)(axf，则 )(xf在 )2,a上是减函数，在 ),2(上是增函数，当 时， (xf取最小值且最小值为 2af，12a，解得 ,1a实数 的取值范围为 )1,(.
